弦與管的振動

弦與管的振動

在科學(xué)史上，正如杠桿原理的誕生要比人類實際使用杠桿晚得很多一樣，有關(guān)樂器的聲學(xué)理論也要比人類實際上演奏各種樂器要晚很長的歷史時期。

弦樂器琴、瑟、箏、筑，可能在上古時代已有了雛型，后來他們中的古琴成為中國傳統(tǒng)樂器，一直流傳至今。胡琴類弦樂器產(chǎn)生較晚，大約隋唐時期先在少數(shù)民族中盛行。管樂器中篪〔chi遲〕、笛、簫、笙的歷史也非常悠久。其中的笙早在商代已成為演奏樂器，考古發(fā)掘的最早的骨笛是新石器時代的器物。然而，從數(shù)理角度探討它們的發(fā)音機制、確定它們的音高位置的規(guī)律卻是在西周中晚期才開始的。

弦線發(fā)音的高低是由其振動頻率決定的，而振動頻率又決定于弦長、線密度和張力。大約公元前6至5世紀(jì)，人們已經(jīng)懂得了音調(diào)與弦長的定量關(guān)系，這就是聞名的“三分損益法”。這是我國古代物理學(xué)史中最早用數(shù)學(xué)公式總結(jié)物理規(guī)律的一個例證。方法是：從一個被認(rèn)定為基音的弦(或管)的長出發(fā)，把它分為三等分，再去掉一分(“損一”)或加上一分(“益一”)，以此來確定另一音的長度。在數(shù)學(xué)上，就是將發(fā)基音的弦長乘以2/3(損一)，或乘以4/3(益一)。依此類推，計算12次，就可以在弦上得到比基音高一倍或低一倍的音(即高八度或低八度的音)，也就完成了一個八度中的12個音的計算。從這12個音中選出五個或七個，就構(gòu)成了五聲音階或七聲音階。這方法的最早記載見于《管子·地員篇》，比希臘畢達(dá)哥拉斯(約公元前570-496年)提出的基本相同的方法要早得多。

古代人除了對音調(diào)與弦長成反比關(guān)系總結(jié)出“三分損益法”的規(guī)律外，他們還知道音調(diào)隨線密度變化的關(guān)系?！俄n非子》記述“大弦小聲、小弦大聲”(《韓非子·外儲說》)，就是這種關(guān)系的定性描述。同時，還研究張力對音調(diào)的影響：當(dāng)粗弦調(diào)得太緊因而發(fā)音太高時，要在同一樂器上調(diào)出某一調(diào)式，那么細(xì)弦就有繃斷的危險。(《淮南子·泰族訓(xùn)》)

以三分損益法計算而得的弦音，自然純正，悅耳動聽。但是，用它計算而得的高八度音，并非是完全的高八度，而是比八度高。在西方，以五度相生法(即乘以2/3)所得的結(jié)果也是如此。為了使數(shù)學(xué)計算能得到一個完全八度音，東西方的音樂家都曾作過種種嘗試，花費了上千年的時間。最后完成這一計算并創(chuàng)造一種新的數(shù)學(xué)方法的是明代科學(xué)家、王子朱載堉。他將八度音程(即2)平均地分為十二等分，在數(shù)學(xué)上解決了求等比數(shù)列的難題。朱載堉稱這種方法為“新法密律”，現(xiàn)在稱之為“十二平均律”。這就是現(xiàn)在的鋼琴、手風(fēng)琴等鍵盤樂器普遍采用的數(shù)理方法。十二平均律是朱載堉在1567—1581年間創(chuàng)建的；而今天在音樂舞臺上占有樂器之王的鋼琴是西方文化的產(chǎn)物。在中國播下的科學(xué)種子卻在西方開花結(jié)果，這是東西方文化交流中至今仍有重大影響的文明之光。

在管樂器中，管內(nèi)空氣柱的振動與弦線振動有本質(zhì)的不同。管振動是縱波，或空氣的疏密波；弦振動是橫波。(圖3-1)古代人常以管作為定音器，以12支長度不同的竹管(或銅管)來標(biāo)定以三分損益法計算而得的八度內(nèi)12個音，這12支竹管就稱為律管。在歷史上，曾經(jīng)有不少人誤以為，管長與弦長相等，它們的發(fā)音音高也一致。事實上，由于受慣性影響，管內(nèi)空氣柱的振動要延伸到管外(見圖3-1)，所以要使管振動與弦振動的音高一致，管長就不能等同于弦長，而是要比弦長稍微短一些；或者使管內(nèi)徑縮小。這種校正管樂器發(fā)音的方法在中國古代都曾被討論過。特別是朱載堉成功地創(chuàng)造了縮小管內(nèi)徑的校正方法，他所得到的律管管內(nèi)徑的系統(tǒng)的校正公式及校正數(shù)據(jù)，直到19世紀(jì)還受到西方音樂家和聲學(xué)家的極大推崇。

圖3-1弦與管的振動模式

(1)兩端固定的弦振動；(2)閉口管內(nèi)空氣柱振動；(3)開口管內(nèi)空氣柱振動。

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