神奇的幻方來自遠古的數(shù)字謎團

幻方，也稱九宮格，宋代數(shù)學家楊輝稱之為縱橫圖，是我國一種傳統(tǒng)數(shù)字游戲。幻方是將從1到若干個數(shù)的自然數(shù)排成縱橫各為若干個數(shù)的正方形，使在同一行、同一列和同一對角線上的幾個數(shù)的和都相等。古時候幻方經(jīng)常在官府、學堂等場所出見，后來通過印度、阿拉伯等地傳到西方，因其奇幻的特性，被稱為Magic Square，即"幻方"或"魔方"。

讓我們從一首古詩開始幻方的探究吧：

四海三山八仙洞，九龍王子一枝蓮。

二七六郎賞月半，周圍十五月團圓。

這首古詩的背景為：相傳大禹治水時，在黃河支流洛水中浮現(xiàn)出一只神龜，龜背上有一個很奇特的圖案，古人認為是一種祥瑞，預示著抗洪救災工作馬上成功，此圖被稱為洛書，洛書中的小點點其實代表9個數(shù)……像這樣每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和都相等的方格表就叫做幻方，三行三列的幻方就叫三階幻方，類似的四行四列的幻方就叫四階幻方。

另一傳說，上古伏羲氏時，有龍馬從黃河里跳出來，背上負著河圖；有神龜從洛水里跳出來，背上負有洛書。伏羲氏根據(jù)河圖、洛書演化成八卦。洛書便是最早的幻方，用現(xiàn)代數(shù)學語言解釋，就是用1~9九個數(shù)字，填在九個格子里，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上3個數(shù)字的和都等于15。

洛書被世界公認為組合數(shù)學的鼻祖，它是中華民族對人類的偉大貢獻之一。同時，洛書以其高度抽象的內涵，對中國古代政治倫理、數(shù)學、天文氣象、哲學、醫(yī)學、宗教等等都產(chǎn)生了重要影響。在遠古傳說中，于治國安邦上也具有積極的寓意。包括洛書在內的幻方自古以來在亞、歐、美洲不少國家都被作為驅邪避兇的吉祥物。

最早將數(shù)字與洛書相連的記載是2300年前的《莊子·天運》，它認為"天有六極五常，帝王順之則治，逆之則兇。九洛之事，治成德備，監(jiān)照下土，天下戴之，此謂上皇"。遠古時代，伏羲依靠河圖畫出八卦，大禹按照洛書劃分九州，并制定治理天下的九類大法，圣人們根據(jù)它們演繹出各種治國安邦的良策，對人類社會與自然界的認識也得到步步深化。大禹從洛書中數(shù)的相互制約，均衡統(tǒng)一得到啟發(fā)而制定國家的法律體系，使得天下一統(tǒng)，歸于大治，這就是"借鑒思維"的開端，這種活化思維的方式已成為現(xiàn)代科學靈感的來源之一。

作為洛書三階幻方基礎的九宮數(shù)字“二九四，七五三，六一八”，在公元80年出版的古書《大戴禮記》卷八《明堂篇》中有明顯記載，這是中國人在數(shù)學上的偉大創(chuàng)造，它奠定了數(shù)學中一個重要分支——組合學的基礎。

中國不僅擁有幻方的發(fā)明權，而且是對幻方進行深入研究的國家。從洛書發(fā)端的幻方在數(shù)千年后更加生機盎然，被稱為具有永恒魅力的數(shù)學問題。十三世紀，中國南宋數(shù)學家楊輝在世界上首先開展了對幻方的系統(tǒng)研究，并編制出三至十階幻方，記載在他1275年寫的《續(xù)古摘廳算法》一書中。洛書上的三階幻方，楊輝將其生成法和最后布局歸結為以下8句話：

關于幻方的基本填法有一句順口溜：“九宮者，二四為肩，六八為足，左三右七，戴九履一，五居中央”_。其實，除了5以外，經(jīng)過旋轉900、1800、2700和反射，可以得到七種變式填法，共計八種（見下圖）。

楊輝稱四階幻方為“花十六圖”或“四四圖”，并給出陰、陽兩種排列的方式。

這兩個四階幻方所應用的數(shù)字是一致的，只是在排列上有差異。但不管怎樣排列，幻方常數(shù)沒有變，始終是34.

歐洲十四世紀也開始了這方面的工作。著名數(shù)學家費爾瑪、歐拉都進行過幻方研究，但直到1514年，德國著名畫家杜勒才繪制出了完整的四階幻方。直到十五世紀，住在君士坦丁堡的魔索普拉才把中國的縱橫圖傳給了歐洲人，歐洲人認為幻方可以鎮(zhèn)壓妖魔，所以把它作為護身符，也把它叫作【Magic Square】。1977年，四階幻方還作為人類的特殊語言被美國旅行者1號、2號飛船攜入太空，向廣袤的宇宙中可能存在的外星人傳達人類文明信息與美好祝愿。

《射雕英雄傳》里面有一個情節(jié)，郭靖帶著受傷的黃蓉四處求高人療傷，遇見瑛姑。瑛姑也愛好各種奇門術數(shù)，但是花了好多年卻解不出一個三階幻方。這個三階幻方也就是"洛書"，它有三行三列，九個空格分別填上一到九這九個數(shù)字，使得每行、每列、每條對角線上三個數(shù)的和都相等。

黃蓉是黃老邪的女兒，古靈精怪，自然也精通此道，很快告訴了瑛姑答案。于是瑛姑就告訴郭靖黃蓉可以找段皇爺療傷。當然瑛姑其實也是為了找段皇爺尋仇。這是后話。其實三階的幻方太簡單了。我倒覺得金庸可以可以把這一段情節(jié)改成瑛姑解的是一個五階幻方，就是五行五列的幻方，甚至是七行七列的幻方，這樣花十幾年解不出也情有可原，難度大些，瑛姑也不至于顯得那么笨。不知道金庸是不是為了襯托黃蓉的聰明？她的口訣是：九宮之義，法以靈龜，二四為肩，六八為足，左七右三，戴九履一，五居中央。

用數(shù)學語言表述，幻方是指在n×n(n行n列)的方格里，既不重復又不遺漏地填上n個連續(xù)的自然數(shù)，每個數(shù)占一格，并使排在任一行、任一列和兩條對角線上的幾個自然數(shù)的和都相等，這個和叫幻和，n叫幻方的階，這樣的數(shù)表叫n階幻方。

幻方之美在于其內在的數(shù)學原理，在于其外在的完美形態(tài)，更在于它無窮無盡的變幻。每個幻方以整齊劃一、均衡對稱、和諧統(tǒng)一的特性，迸發(fā)出耀人的數(shù)學之美的光輝。如今，幻方仍然是組合數(shù)學的研究課題之一，經(jīng)過一代代數(shù)學家與數(shù)學愛好者的共同努力，幻方與它的變體所蘊含的各種神奇的科學性質正逐步得到揭示。在種類上，更加可以細分為完全幻方、乘幻方、多階幻方、高次幻方，以及反幻方等。

當前，幻方已在組合分析、實驗設計、圖論、數(shù)論、群、對策論、紡織、工藝美術、程序設計、人工智能等領域得到廣泛應用。可以說，來自遠古的幻方，將帶領人類走向更高智能的未來。

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