芝諾的悖論是怎么回事呢他的邏輯錯在哪里

芝諾的悖論是怎么回事呢他的邏輯錯在哪里

我們在平時閱讀或聊天中偶爾會碰到一個詞——“悖論”。那到底什么是悖論呢?悖論是怎么發(fā)生的呢?我們應(yīng)該怎么破破解遇到的悖論呢?

百度百科對“悖論”給出的定義是：悖論指的是表面上同一命題或推理中隱含著兩個對立的結(jié)論，而這兩個結(jié)論都能自圓其說。悖論的抽象公式就是：如果事件A發(fā)生，則推導(dǎo)出非A，非A發(fā)生則推導(dǎo)出A。

簡單說就是一句自相矛盾的話，或一段自相矛盾的論證。

這樣僅給出定義好像還是很難直觀地理解悖論，那我們今天就以歷史上最著名的悖論——芝諾悖論為例，好好體會一下悖論到底“?！痹谀睦?。

先簡單介紹一下芝諾吧，芝諾生活于公元前5世紀(jì)，是著名的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家，他的家鄉(xiāng)在意大利半島一個叫埃利亞的地方，古希臘哲學(xué)中有一個很著名的哲學(xué)學(xué)派就叫埃利亞學(xué)派。芝諾和他的老師巴門尼德都屬于其中的代表人物，他們的觀點粗暴點兒理解就是唯心主義，他們認(rèn)為世界是一個不可分割的、沒有空隙的整體，既然如此，世界萬物就不能運(yùn)動(因為沒有閑余空間)?？傊@個學(xué)派否認(rèn)多樣化，否認(rèn)運(yùn)動變化。

之所以費(fèi)這么多口舌介紹埃利亞學(xué)派的基本觀點，是因為今天要介紹的芝諾悖論就是為維護(hù)這些觀點而提出的。

據(jù)說芝諾一共提出過四十多個悖論，但最著名的是四個，而今天我們只選擇其中最耳熟能詳?shù)膬蓚€介紹給大家。

其中一個叫“阿基琉斯追不上烏龜”。阿基琉斯是古希臘非常著名的運(yùn)動員，擅長跑步，而烏龜又是速度很慢的動物。如果讓阿基琉斯落后烏龜一百米，然后追趕烏龜(假設(shè)烏龜?shù)乃俣仁?.1m/s,阿基琉斯比烏龜快100倍，是10m/s)，會怎么樣呢?我們一定認(rèn)為這不費(fèi)吹灰之力，阿基琉斯一定會很快追上。

但是，芝諾認(rèn)為阿基琉斯永遠(yuǎn)追不上烏龜，理由是：假如剛出發(fā)的時候，阿基琉斯在A點，烏龜在B點。經(jīng)過一段時間之后他趕到了B點，而烏龜卻也往前走了一段——比如到達(dá)了C點;阿基琉斯又從B點開始追，等到趕到C點時，烏龜又往前走了一段，到了D點……總之，阿基琉斯每趕到烏龜之前的落腳點，烏龜就已經(jīng)往前走了一段，雖然它們之間的距離永遠(yuǎn)在縮小，但他永遠(yuǎn)追不上烏龜!

看到這里，很多同學(xué)會馬上反駁說：二者之間的距離在不斷縮小，就一定會在某個時刻縮小為零，那個時候就趕上了呀?!但是我們注意，這個思想實驗之所以可怕，就在于它沒有設(shè)定二者距離為零的情況，它們的差距可以被演繹到無限縮小，但永遠(yuǎn)不能為零。因為烏龜在不停的運(yùn)動，這意味著，不管時間多短，烏龜都會離開阿基琉斯之前定下的的目標(biāo)往前移動一點點!

是不是很抓狂?

還有更抓狂的——“飛矢不動”。我們都知道，射出去的箭在飛行過程中是一直處于運(yùn)動狀態(tài)的。 但是芝諾提醒我們，如果把飛行的這段時間分成無數(shù)個瞬間，我們發(fā)現(xiàn)這支箭在每個瞬間都有一個固定的位置——如果我們用攝像機(jī)拍下整段視頻，我們發(fā)現(xiàn)這段視頻可以分成無數(shù)幀，而且每一幀中(也就是每一瞬間中)，這支箭都是靜止不動的。既然箭在這個過程中的每一個瞬間都沒有動，那么整段時間中，這支箭也根本就沒動!

有沒有覺得這兩個悖論很討厭?它們討厭在哪里呢?它們的討厭之處就在于用看似無懈可擊的邏輯理性演繹出了違背常識的結(jié)論。這兩個違背常識的結(jié)論都是在否認(rèn)運(yùn)動。這就是上文提到的，在維護(hù)埃利亞學(xué)派的基本觀點。

那么針對悖論，我們怎樣才能給予專業(yè)、痛快的反駁呢?

這個時候切忌輕率地用自己的思維自說自話式的“解決”它，比如對于“阿基琉斯悖論”，我們甚至可以計算出阿基琉斯可以在大約11秒左右趕上烏龜，但這不能算是反駁了這個悖論。芝諾本來是一位數(shù)學(xué)家，更是一位正常人，他肯定也知道阿基琉斯一定會追上烏龜，所以我們這么說是白搭。

那應(yīng)該怎么辦呢?面對悖論，不能指出或者強(qiáng)調(diào)它的事實錯誤，而是要跳到它的邏輯內(nèi)部理解它，然后指出它的邏輯錯誤，并指出其是如何導(dǎo)致悖論的，說明白這些就相當(dāng)于反駁了這個悖論。

我們先來看“阿基琉斯悖論”是怎樣導(dǎo)致悲劇的：其實這個悖論模糊了一個概念——“無限”?！盁o限”作為一個事物的屬性，描述的到底是這個事物的什么呢?也就是說，當(dāng)我們說一個事物是“無限”的時候，我們指的是什么意思?這個悖論中的所謂“無限”，就是阿基琉斯在追上烏龜之前的這段空間距離(方便起見，這段距離為A-Z)可以無限分割成無限小的距離段。阿基琉斯并不是在努力跑向那個Z點，趕上烏龜，而是在完成烏龜留下的一個又一個越來越短的但又無限多的距離段。因為這些距離段有無限個，所以他永遠(yuǎn)也完成不了它們。

如果說有一段無限長的、只有起點沒有終點的距離，那么阿基琉斯就是跑得再快，也是無法窮盡的。但是這個悖論里的“無限”，指的是對一個定值(線段A-Z)的無限分割，也就是說A-Z這段距離雖然是無限可分的，但是這些無限的部分加起來的總量卻是一個定值，總長始終是A-Z，即這是一種“有限”的“無限”。換句話說，阿基琉斯追烏龜這件事的無限，只不過指的是在思維世界中(注意：是在思維世界中)，他要完成的步驟是無限多的;而在現(xiàn)實世界中，他只需要11秒就能完成此事。

再來看“飛矢不動”悖論：其實這個悖論也模糊了一個概念——“瞬間”。瞬間到底應(yīng)該是一個極短但卻有長度的“時間段”——就像線段——呢?還是一個沒有長度——就像點——的“時刻”呢?一支箭飛行的過程是一大段有長度的時間段，所以它就算被分割的再細(xì)，其組成部分也應(yīng)該是一段一段極小的時間段，而不是像點一樣的“時刻”。時間段是運(yùn)動發(fā)生的必要條件，每一場運(yùn)動都必定發(fā)生在一段時間中(不管它有多短)。但在某一時刻中卻不能談運(yùn)動，而只能談位置。芝諾正是用“時刻”偷換了“瞬間”。

就這樣，我們算是大致搞清楚了這兩個悖論如何發(fā)生的原因，當(dāng)然也就反駁了它們，他們的錯誤在于概念的混淆，或邏輯形式的混亂。

看到這里，大家可能會產(chǎn)生一個問題：歷史上這些哲學(xué)家們制造這些悖論到底有什么意義呢?畢竟連他們自己也不會相信這些悖論啊!但其實這些悖論對于鍛煉我們的思維，促進(jìn)思想的發(fā)展有很重要的意義。就像頭疼腦熱的小病反而會鍛煉我們的抵抗力一樣，芝諾悖論和很多其他邏輯學(xué)上有趣的悖論一次又一次地提醒哲學(xué)家和邏輯學(xué)家們?nèi)シ此甲约旱乃季S框架和習(xí)慣，人類就是在這種反思和檢討中戰(zhàn)勝無聊、不斷進(jìn)步的，你說對吧?

芝諾悖論最后是怎么解決的？

當(dāng)人類面對這深邃的宇宙開始思考一些問題的時候,他們就已經(jīng)開始研究運(yùn)動了,而運(yùn)動的存在性問題是其中最為重要、也是最令人困惑的第一個問題.
　　表面上看來,運(yùn)動的存在性是顯然的,然而芝諾卻最早以簡單的論證“證明”了運(yùn)動不可能存在,他也由于這一悖論式的證明而為后人所永遠(yuǎn)銘記.芝諾是古希臘時期愛利亞學(xué)派的主要成員,這個學(xué)派的基本思想是否認(rèn)現(xiàn)實世界中的任何運(yùn)動變化,認(rèn)為它們只是真實存在的表面現(xiàn)象.芝諾為了證明他們的觀點,第一個設(shè)想和論證了物體運(yùn)動中存在的令人不安的困難.
　　芝諾的論證是這樣的：你若想追上烏龜,你必須首先到達(dá)烏龜開始跑的位置,但當(dāng)你到達(dá)烏龜開始跑的位置時,烏龜在這段時間里已經(jīng)跑到前面去了,當(dāng)你再想去追烏龜時,你面臨同樣的問題,即你仍必須首先要跑到烏龜此刻的位置,而等你跑到了烏龜又向前移動了.好,雖然你比烏龜跑得快,但你也只能按上述過程逐漸逼近烏龜,這樣的過程將無限次地出現(xiàn),而在每一階段烏龜總在你前頭.由于有限的你無法完成這無限個階段,于是你永遠(yuǎn)也追不上烏龜.
　　“但是,我絕對可以追上烏龜!”你可能忍不住要爭辯道.請別急,芝諾將進(jìn)一步論證你根本就無法開始運(yùn)動,更不用說追上烏龜了.你看,如果你想到達(dá)烏龜開始跑的位置,你就必須首先到達(dá)這段距離的中點,而你若想到達(dá)這個中點,你又必須首先到達(dá)這一半距離的中點,如此等等.由于這一二分過程可以無限地進(jìn)行下去,而你無法完成無限個過程,于是你實際上都無法離開起點.
　　“但是,……”,你也許已陷入了沉思之中.是的,盡管芝諾的論證簡單易懂,但是要找出其論證中的問題卻并不容易.實際上,自從芝諾悖論提出以來,人們一直試圖指出其中的錯誤所在,然而直到今天,仍然沒有一個完全滿意的解答.
　　一般認(rèn)為,芝諾悖論由四個論證組成,它們是二分法、阿基里斯、飛矢不動和運(yùn)動場.
　　芝諾首先假定時間和空間是連續(xù)的2,即假定運(yùn)動是連續(xù)的.為了證明這種連續(xù)運(yùn)動是不可能的,芝諾考察了兩種情況,它們是孤立物體的連續(xù)運(yùn)動情況和兩個物體的相對連續(xù)運(yùn)動情況.
　　對于孤立物體的連續(xù)運(yùn)動情況,他提出了一種“二分法”證明.芝諾認(rèn)為,任何一個物體要想從A點運(yùn)動到B點,必須首先到達(dá)AB的中點C,而要到達(dá)C點,他又必須首先到達(dá)AC的中點D,同樣,要到達(dá)D點,他又必須首先到達(dá)AD的中點,等等.由于時間和空間是連續(xù)的,這一二分過程總可以無限地進(jìn)行下去,于是該物體實際上都無法離開A點,因此孤立物體的連續(xù)運(yùn)動是不可能的.
　　對于兩個物體的相對連續(xù)運(yùn)動情況,芝諾提出了一個稱為“阿基里斯”的證明.他說,阿基里斯若想追上烏龜,他必須首先到達(dá)烏龜開始跑的位置,但當(dāng)他到達(dá)烏龜開始跑的位置時,烏龜在這段時間里已經(jīng)跑到前面去了,當(dāng)阿基里斯再想去追烏龜時,他面臨同樣的問題,即他仍必須首先要跑到烏龜此刻的位置,而等他跑到了烏龜又向前移動了.雖然阿基里斯比烏龜跑得快,但他也只能按上述過程逐漸逼近烏龜,這樣的過程可以無限次地出現(xiàn),在每一階段烏龜總在他前頭.由于阿基里斯無法完成這無限個階段,于是他永遠(yuǎn)也追不上烏龜,從而兩個物體的相對連續(xù)運(yùn)動也是不可能的.
　　其次,芝諾假定時間和空間是分立的,即假定運(yùn)動是間斷的.為了證明這種間斷運(yùn)動也是不可能的,芝諾同樣考察了兩種情況,即孤立物體的間斷運(yùn)動情況和兩個物體的相對間斷運(yùn)動情況.
　　對于孤立物體的間斷運(yùn)動情況,他提出了“飛矢不動”論證3.芝諾說,由于運(yùn)動是位置的變動,而飛矢在任何一個時間單元（或時刻）都呆在一個位置上,即在任何時間單元（或時刻）它的位置都沒有變化,于是任何一個時間單元（或時刻）的飛矢是不動的,因此飛矢是不動的.
　　對于兩個物體的相對間斷運(yùn)動情況,芝諾提出了“運(yùn)動場”論證.他假設(shè)有A、B、C三列物體,物體B、C相對于A的運(yùn)動方向相反,并且每一時間單元物體B、C相對于A都運(yùn)動一個空間單元.于是,在一個時間單元過后物體B、C之間相對移動了兩個空間單元,從而物體B相對于C移動一個空間單元需要半個時間單元,而物體B相對于A移動一個空間單元卻需要一個時間單元,于是一個時間單元將等于半個時間單元.這一結(jié)論明顯是不成立的,因此兩個物體的相對間斷運(yùn)動也是不可能的.
　　是的,芝諾的結(jié)論顯然是不對的,每個清醒的人都知道.然而,他的論證卻并不一定就是錯誤的,為什么呢?因為他是在一定假設(shè)的前提下證明你追不上烏龜?shù)?而這些假設(shè)不一定都正確.芝諾的假設(shè)包括：時間和空間是連續(xù)的,運(yùn)動也是連續(xù)的.盡管這些假設(shè)看起來似乎是顯然的,但是現(xiàn)代科學(xué)卻已經(jīng)暗示了它們很可能并不是正確的.因此,如果芝諾的論證沒有問題,那么2000多年前的他就已經(jīng)證明了時間、空間和運(yùn)動不可能都是連續(xù)的.這是一個驚人的結(jié)論,它完全違背我們的常識,但芝諾成功了嗎?讓我們再來看一看他的具體論證.
　　可以看出,芝諾論證的關(guān)鍵在于他認(rèn)為物體無法經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間而在連續(xù)時空中完成運(yùn)動,但是他的根據(jù)呢?仔細(xì)檢查后你會發(fā)現(xiàn),沒有!難道這是一條十分明顯的、不需要進(jìn)一步說明的公理嗎?或許初看起來我們也會認(rèn)為物體無法經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間,但喜歡刨根問底的人還是想問問芝諾這是為什么.當(dāng)然,芝諾是無法回答了,那就讓我們來分析一下這個看法是否正確吧.
　　首先,我們必須弄清“完成”的含義.所謂“完成”是指過程的發(fā)生只需要有限的時間,它本質(zhì)上是以時間概念為基礎(chǔ)的.于是,問題成為：物體是否能夠在有限時間內(nèi)經(jīng)過空間中的無窮多個點或區(qū)間?根據(jù)時間和空間的連續(xù)性假設(shè),有限的空間含有無窮多個點或區(qū)間,而有限的時間同樣含有無窮多個時刻或時間區(qū)間,并且它們可以形成一個一一對應(yīng)關(guān)系.因此,原則上物體可以利用有限時間內(nèi)的無窮多個時刻或時間區(qū)間來通過有限空間中的無窮多個點或區(qū)間,從而物體便可以自然地在有限時間內(nèi)經(jīng)過空間中的無窮多個點或區(qū)間了.于是,物體是可以（在連續(xù)時空中）經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間而完成運(yùn)動的.看來,芝諾所依據(jù)的似乎明顯正確的看法其實是錯誤的,他在強(qiáng)調(diào)空間連續(xù)性的同時卻忽略了時間的連續(xù)性.
　　然而,為什么我們總有一種感覺,認(rèn)為物體無法經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間呢?這個問題很重要,因為芝諾也許正是利用了這種感覺才讓人們?yōu)樗恼撟C所迷惑.為此,讓我們回憶一下我們通常是如何來理解無窮的完成過程的.你會注意到,我們在理解無窮的完成時,總是不知不覺地要從心理上去追蹤它的完成,如追蹤物體經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間.然而,由于我們追蹤物體經(jīng)過任何一個點或區(qū)間都需要有限的時間,從而我們便無法追蹤物體經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間,因為我們的追蹤將需要無窮長的時間!但是,這并不妨礙物體自己經(jīng)過無窮多個點或區(qū)間,畢竟,我們沒有理由認(rèn)為無法通過意識追蹤的過程實際上也無法完成.　找到了困惑的根源,你一定有一種如釋負(fù)重的感覺吧,看來理解運(yùn)動問題其實并不難.是的,有時你離答案僅一步之遙,而跨過去你的思想就會海闊天空,關(guān)鍵在于你是否愿意多花一點時間來思考了.理解總是令人愉悅的!而理解之前的困惑同樣是一種妙不可言的經(jīng)歷,它會幫助你真正認(rèn)識自己,并讓你成為一個有理性的、智慧的人.
　　現(xiàn)在,你一定確信并理解自己可以追上烏龜了,衷心地祝賀你.

“悖論”是什么意思？

“悖論”的意思是可以同時推導(dǎo)或證明兩個互相矛盾的命題的命題或理論體系。

悖論根源于知性認(rèn)識、知性邏輯（傳統(tǒng)邏輯）、矛盾邏輯的局限性。產(chǎn)生悖論的根本原因是把傳統(tǒng)邏輯形式化、把傳統(tǒng)邏輯普適性絕對化，即把形式邏輯當(dāng)作思維方式。

悖論是命題或推理中隱含的思維的不同層次、意義（內(nèi)容）和表達(dá)方式（形式）、主觀和客觀、主體和客體、事實和價值的混淆，是思維內(nèi)容與思維形式、思維主體與思維客體、思維層次與思維對象的不對稱，是思維結(jié)構(gòu)、邏輯結(jié)構(gòu)的不對稱。

擴(kuò)展資料

悖論的延展：

稍晚于畢達(dá)哥拉斯的古希臘數(shù)學(xué)家芝諾，曾經(jīng)提出過一些著名的悖論，對以后數(shù)學(xué)、物理概念產(chǎn)生了重要影響，阿基里斯悖論是其中的一個。

阿基里斯是希臘神話中善跑的英雄。芝諾講：阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微領(lǐng)先于他的烏龜，因為當(dāng)他要到達(dá)烏龜出發(fā)的那一點，烏龜又向前爬動了。阿基里斯和烏龜?shù)木嚯x可以無限地縮小，但永遠(yuǎn)追不上烏龜。

方勵之先生曾經(jīng)用物理語言描述過這個問題：在阿基里斯悖論中使用了兩種不同的時間度量。一般度量方法是：假設(shè)阿基里斯與烏龜在開始時的距離為S，速度分別為V1和V2。當(dāng)時間T=S/（V1－V2）時，阿基里斯就趕上了烏龜。

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