幾何原本簡(jiǎn)介,原本定義是什么樣的

幾何原本簡(jiǎn)介,原本定義是什么樣的

《幾何原本》(希臘語：Στοιχε?α)又稱《原本》。是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的一部數(shù)學(xué)著作。它是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認(rèn)為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學(xué)及數(shù)論的作品。歐幾里得使用了公理化的方法。這一方法后來成了建立任何知識(shí)體系的典范，在差不多二千年間，被奉為必須遵守的嚴(yán)密思維的范例。這本著作是歐幾里得幾何的基礎(chǔ)，在西方是僅次于《圣經(jīng)》而流傳最廣的書籍。

原本介紹

《幾何原本》是一部集前人思想和歐幾里得個(gè)人創(chuàng)造性于一體的不朽之作。并把人們公認(rèn)的一些事實(shí)列成定義和公理，以形式邏輯的方法，用這些定義和公理來研究各種幾何圖形的性質(zhì)，從而建立了一套從公理、定義出發(fā)，論證命題得到定理的幾何學(xué)論證方法，形成了一個(gè)嚴(yán)密的邏輯體系——幾何學(xué)。而這本書，也就成了歐式幾何的奠基之作。

這部書已經(jīng)基本囊括了幾何學(xué)從公元前7世紀(jì)的古埃及，一直到公元前4世紀(jì)——?dú)W幾里得生活時(shí)期——前后總共400多年的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史。它不僅保存了許多古希臘早期的幾何學(xué)理論，而且通過歐幾里得開創(chuàng)性的系統(tǒng)整理和完整闡述，使這些遠(yuǎn)古的數(shù)學(xué)思想發(fā)揚(yáng)光大。

它開創(chuàng)了古典數(shù)論的研究，在一系列公理、定義、公設(shè)的基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了歐幾里得幾何學(xué)體系，成為用公理化方法建立起來的數(shù)學(xué)演繹體系的最早典范。

歐幾里得所著的《原本》大約成書于公元前300年，原書早已失傳。全書共分13卷。書中包含了5個(gè)“公設(shè)(Axioms)”、5條“一般性概念(Common Notions)”、23個(gè)定義(Definitions)和48個(gè)命題(Propositions)。在每一卷內(nèi)容當(dāng)中，歐幾里得都采用了與前人完全不同的敘述方式，即先提出公理、公設(shè)和定義，然后再由簡(jiǎn)到繁地證明它們。這使得全書的論述更加緊湊和明快。

而在整部書的內(nèi)容安排上，也同樣貫徹了他的這種獨(dú)具匠心的安排。它由淺到深，從簡(jiǎn)至繁，先后論述了直邊形、圓、比例論、相似形、數(shù)、立體幾何以及窮竭法等內(nèi)容。其中有關(guān)窮竭法的討論，成為近代微積分思想的來源。

照歐氏幾何學(xué)的體系，所有的定理都是從一些確定的、不需證明而礴然為真的基本命題即公理演繹出來的。在這種演繹推理中，對(duì)定理的每個(gè)證明必須或者以公理為前提，或者以先前就已被證明了的定理為前提，最后做出結(jié)論。對(duì)后世產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。它標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一個(gè)有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。

兩千多年來，《幾何原本》一直是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學(xué)者都曾學(xué)習(xí)過《幾何原本》，從中吸取了豐富的營(yíng)養(yǎng)，從而作出了許多偉大的成就。

1582年，來自意大利的天主教神父利瑪竇到中國(guó)傳教，帶來了15卷本的《原本》。1600年，明代數(shù)學(xué)家徐光啟(1562-1633)與利瑪竇相識(shí)后，便經(jīng)常來往。1607年，他們把該書的前6卷平面幾何部分合譯成中文，并改名為《幾何原本》。后9卷是1857年由中國(guó)清代數(shù)學(xué)家李善蘭(1811-1882)和英國(guó)人偉烈亞力譯完的。

原本定義

注：《幾何原本》中有“公設(shè)”與“公理”之分，近代數(shù)學(xué)對(duì)此不再區(qū)分，都稱“公理”。

定義

23條

點(diǎn)是沒有部分的

線只有長(zhǎng)度而沒有寬度

一線的兩端是點(diǎn)

直線是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線

面只有長(zhǎng)度和寬度

面的邊緣是線

平面是它上面的線一樣地平放著的面

平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線上的兩條相交線相互的傾斜度

當(dāng)包含角的兩條線都是直線時(shí)，這個(gè)角叫做直線角

當(dāng)一條直線和另一條直線交成鄰角彼此相等時(shí)，這些角的每一個(gè)叫做直角，而且稱這一條直線垂直于另一條直線。

大于直角的角叫鈍角

小于直角的角叫銳角

邊界是物體的邊緣

圖形是一個(gè)邊界或者幾個(gè)邊界所圍成的

圓：由一條線包圍著的平面圖形，其內(nèi)有一點(diǎn)與這條線上任何一個(gè)點(diǎn)所連成的線段都相等

這個(gè)點(diǎn)(指定義15中提到的那個(gè)點(diǎn))叫做圓心。

圓的直徑是任意一條經(jīng)過圓心的直線在兩個(gè)方向被圓截得的線段，且把圓二等分

半圓是直徑與被它切割的圓弧所圍成的圖形，半圓的圓心與原圓心相同(接17)

直線形是由線段圍成的，三邊形是由三條線段圍成的，四邊形是由四條線圍成的，多邊形是由四條以上線段圍成的

在三邊形中,三條邊相等的,叫做等邊三角形;只有兩條邊相等的,叫做等腰三角形;各邊不等的,叫做不等邊三角形

此外，在三邊形中，有一角是直角的，叫做直角三角形;有一個(gè)角是鈍角的，叫做鈍角三角形;有三個(gè)角是銳角的，叫做銳角三角形

在四邊形中,四邊相等且四個(gè)角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四邊不全相等的,叫做長(zhǎng)方形;四邊相等,但角不是直角的,叫做菱形;對(duì)角相等且對(duì)邊相等,但邊不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四邊形叫做不規(guī)則四邊形

平行直線是在同一個(gè)平面內(nèi)向兩端無限延長(zhǎng)不能相交的直線

公理

1.等于同量的量彼此相等;

2.等量加等量，其和相等;

3.等量減等量，其差相等;

4.彼此能完全重合的物體是全等的;

5.整體大于部分。

公設(shè)

1.過兩點(diǎn)能作且只能作一直線;

2.線段(有限直線)可以無限地延長(zhǎng);

3.以任一點(diǎn)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑,可作一圓;

4.凡是直角都相等;

5.同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于180°，則這兩條直線經(jīng)無限延長(zhǎng)后在這一側(cè)一定相交。(近代數(shù)學(xué)不區(qū)分公設(shè)，公理，統(tǒng)一稱為公理)

——以上選自《幾何原本》 第一卷《幾何基礎(chǔ)》

最后一條公設(shè)就是著名的平行公設(shè)，或者叫做第五公設(shè)。它引發(fā)了幾何史上最著名的長(zhǎng)達(dá)兩千多年的關(guān)于“平行線理論”的討論，并最終誕生了非歐幾何。值得注意的是，第五公設(shè)既不能說是正確也不能說是錯(cuò)誤，它所概括的是一種情況。非歐幾何則在推翻第五公設(shè)的前提下進(jìn)行了另外情況的討論。

歐幾里得幾何原本的內(nèi)容簡(jiǎn)介

歐幾里得的偉大貢獻(xiàn)在于他將這些材料做了整理，并在書中作了全面的系統(tǒng)闡述。這包括首次對(duì)公理和公設(shè)作了適當(dāng)?shù)倪x擇（這是非常困難的工作，需要超乎尋常的判斷力和洞察力）。然后，他仔細(xì)地將這些定理做了安排，使每一個(gè)定理與以前的定理在邏輯上前后一致。在需要的地方，他對(duì)缺少的步驟和不足的證明也作了補(bǔ)充。值得一提的是，《歐幾里得幾何原本》雖然基本上是平面和立體幾何的發(fā)展，也包括大量代數(shù)和數(shù)論的內(nèi)容。
《歐幾里得幾何原本》作為教科書使用了兩千多年。在形成文字的教科書之中，無疑它是最成功的。歐幾里得的杰出工作，使以前類似的東西黯然失色。該書問世之后，很快取代了以前的幾何教科書，而后者也就很快在人們的記憶中消失了?！稓W幾里得幾何原本》是用希臘文寫成的，后來被翻譯成多種文字。它首版于1482年，即谷登堡發(fā)明活字印刷術(shù)3O多年之后。自那時(shí)以來，《歐幾里得幾何原本》已經(jīng)出版了上千種不同版本。
在訓(xùn)練人的邏輯推理思維方面，《歐幾里得幾何原本》比亞里土多德的任何一本有關(guān)邏輯的著作影響都大得多。在完整的演繹推理結(jié)構(gòu)方面，這是一個(gè)十分杰出的典范。正因?yàn)槿绱?，自本書問世以來，思想家們?yōu)橹鴥A倒。

幾何原本的具體內(nèi)容是什么

　　幾何：是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學(xué)科。它是數(shù)學(xué)中最基本的研究?jī)?nèi)容之一，與分析、代數(shù)等等具有同樣重要的地位，并且關(guān)系極為密切。幾何學(xué)發(fā)展歷史悠長(zhǎng)，內(nèi)容豐富。它和代數(shù)、分析、數(shù)論等等關(guān)系極其密切。幾何思想是數(shù)學(xué)中最重要的一類思想。暫時(shí)的數(shù)學(xué)各分支發(fā)展都有幾何化趨向，即用幾何觀點(diǎn)及思想方法去探討各數(shù)學(xué)理論。常見定理有勾股定理，歐拉定理，斯圖爾特定理等。

什么是幾何學(xué)？

學(xué)過數(shù)學(xué)的人，都知道它有一門分科叫作“幾何學(xué)”，然而卻不一定知道“幾何”這個(gè)名稱是怎么來的。在我國(guó)古代，這門數(shù)學(xué)分科并不叫“幾何”，而是叫作“形學(xué)”?！皫缀巍倍郑谥形睦镌纫膊皇且粋€(gè)數(shù)學(xué)專有名詞，而是個(gè)虛詞，意思是“多少”。比如三國(guó)時(shí)曹操那首著名的《龜雖壽》詩，有這么兩句：“對(duì)酒當(dāng)歌，人生幾何？”這里的“幾何”就是多少的意思。那么，是誰首先把“幾何”一詞作為數(shù)學(xué)的專業(yè)名詞來使用的，用它來稱呼這門數(shù)學(xué)分科的呢？這是明末杰出的科學(xué)家徐光啟。 ==簡(jiǎn)史==

幾何學(xué)有悠久的歷史。最古老的[[歐氏幾何]]基于一組公設(shè)和定義，人們?cè)诠O(shè)的基礎(chǔ)上運(yùn)用基本的邏輯推理構(gòu)做出一系列的命題?？梢哉f，《[[幾何原本]]》是公理化系統(tǒng)的第一個(gè)范例，對(duì)西方數(shù)學(xué)思想的發(fā)展影響深遠(yuǎn)。

一千年后，[[笛卡兒]]在《[[方法論]]》的附錄《幾何》中，將[[坐標(biāo)]]引入幾何，帶來革命性進(jìn)步。從此幾何問題能以[[代數(shù)]]的形式來表達(dá)。實(shí)際上，幾何問題的代數(shù)化在[[中國(guó)數(shù)學(xué)史]]上是顯著的方法。笛卡兒的創(chuàng)造，是否有東方數(shù)學(xué)的影響在里面，由于東西方數(shù)學(xué)交流史研究的欠缺，尚不得而知。

歐幾里得幾何學(xué)的第五公設(shè)，由于并不自明，引起了歷代數(shù)學(xué)家的關(guān)注。最終，由羅巴切夫斯基和黎曼建立起兩種非歐幾何。

幾何學(xué)的現(xiàn)代化則歸功于[[克萊因]]、[[希爾伯特]]等人?？巳R因在普呂克的影響下，應(yīng)用群論的觀點(diǎn)將幾何變換視為特定不變量約束下的變換群。而希爾比特為幾何奠定了真正的科學(xué)的公理化基礎(chǔ)。應(yīng)該指出幾何學(xué)的公理化，影響是極其深遠(yuǎn)的，它對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)的嚴(yán)密化具有極其重要的先導(dǎo)作用。它對(duì)數(shù)理邏輯學(xué)家的啟發(fā)也是相當(dāng)深刻的。

＝＝古代幾何學(xué)＝＝

幾何最早的有記錄的開端可以追溯到古埃及（參看古埃及數(shù)學(xué)），古印度（參看古印度數(shù)學(xué)），和古巴比倫（參看古巴比倫數(shù)學(xué)），其年代大約始于公元前3000年。早期的幾何學(xué)是關(guān)于長(zhǎng)度，角度，面積和體積的經(jīng)驗(yàn)原理，被用于滿足在測(cè)繪，建筑，天文，和各種工藝制作中的實(shí)際需要。在它們中間，有令人驚訝的復(fù)雜的原理，以至于現(xiàn)代的數(shù)學(xué)家很難不用微積分來推導(dǎo)它們。例如，埃及和巴比倫人都在畢達(dá)哥拉斯之前1500年就知道了畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱錐的錐臺(tái)（截頭金字塔形）的體積的正確公式；而巴比倫有一個(gè)三角函數(shù)表。

中國(guó)文明和其對(duì)應(yīng)時(shí)期的文明發(fā)達(dá)程度相當(dāng)，因此它可能也有同樣發(fā)達(dá)的數(shù)學(xué)，但是沒有那個(gè)時(shí)代的遺跡可以使我們確認(rèn)這一點(diǎn)。也許這是部分由于中國(guó)早期對(duì)于原始的紙的使用，而不是用陶土或者石刻來記錄他們的成就。

＝＝名稱的來歷＝＝

幾何這個(gè)詞最早來自于希臘語“γεωμετρ?α”，由“γ?α”（土地）和“μετρε ?ν”（測(cè)量）兩個(gè)詞合成而來，指土地的測(cè)量，即測(cè)地術(shù)。后來拉丁語化為“geometria”。中文中的“幾何”一詞，最早是在明代利瑪竇、徐光啟合譯《幾何原本》時(shí)，由徐光啟所創(chuàng)。當(dāng)時(shí)并未給出所依根據(jù)，后世多認(rèn)為一方面幾何可能是拉丁化的希臘語GEO的音譯，另一方面由于《幾何原本》中也有利用幾何方式來闡述數(shù)論的內(nèi)容，也可能是magnitude（多少）的意譯，所以一般認(rèn)為幾何是geometria的音、意并譯。

1607年出版的《幾何原本》中關(guān)于幾何的譯法在當(dāng)時(shí)并未通行，同時(shí)代也存在著另一種譯名——形學(xué)，如狄考文、鄒立文、劉永錫編譯的《形學(xué)備旨》，在當(dāng)時(shí)也有一定的影響。在1857年李善蘭、偉烈亞力續(xù)譯的《幾何原本》后9卷出版后，幾何之名雖然得到了一定的重視，但是直到20世紀(jì)初的時(shí)候才有了較明顯的取代形學(xué)一詞的趨勢(shì)，如1910年《形學(xué)備旨》第11次印刷成都翻刊本徐樹勛就將其改名為《續(xù)幾何》。直至20世紀(jì)中期，已鮮有“形學(xué)”一次的使用出現(xiàn)。

＝＝分支學(xué)科＝＝

平面幾何

立體幾何

非歐幾何

羅氏幾何

黎曼幾何

解析幾何

射影幾何

仿射幾何

代數(shù)幾何

微分幾何

計(jì)算幾何

拓?fù)鋵W(xué)

參考文獻(xiàn)

《世界數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編》，梁宗巨，1981年，遼寧人民出版社，第90頁~第92頁

==幾何學(xué)的發(fā)展簡(jiǎn)史==
由于人類生產(chǎn)和生活的需要，產(chǎn)生了幾何學(xué)。
在原始社會(huì)里，人類在生產(chǎn)和生活中，積累了許多有關(guān)物體的形狀、大小和相互之間的位置關(guān)系的知識(shí)。例如，古代的人們認(rèn)識(shí)他們的獵物的形狀、大小，記住它們的居住地與打獵地之間的距離，以及打獵地在居住地的那個(gè)方位。
隨著人類社會(huì)的不斷發(fā)展，人們對(duì)物體的形狀、大小和相互之間的位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)愈來愈豐富，逐漸地積累起較豐富的幾何學(xué)知識(shí)。
相傳四千年前，埃及的尼羅河每年洪水泛濫，總是把兩岸的土地淹沒，水退后，使土地的界線不分明。當(dāng)時(shí)埃及的勞動(dòng)人民為了重新測(cè)出被洪水淹沒的土地的地界，每年總要進(jìn)行土地測(cè)量，因此，積累了許多測(cè)量土地方面的知識(shí)。從而產(chǎn)生了幾何學(xué)的初步知識(shí)。
后來，希臘人由于跟埃及人通商，從埃及學(xué)到了測(cè)量與繪畫等的幾何初步知識(shí)。希臘人在這些幾何初步知識(shí)的基礎(chǔ)上，逐步充實(shí)并提高成為一門完整的幾何學(xué)?！皫缀螌W(xué)”這個(gè)詞，是來自希臘文，原來的意義是“測(cè)量土地技術(shù)”?！皫缀螌W(xué)”這個(gè)詞一直沿用到今天。
公元前338年，希臘人歐幾里德，把在他以前的埃及和希臘人的幾何學(xué)知識(shí)加以系統(tǒng)的總結(jié)和整理，寫了一本書，書名叫做《幾何原本》。1607年，我國(guó)的數(shù)學(xué)家徐光啟和西方人利瑪竇合作，把歐幾里德的《幾何原本》第一次介紹到我國(guó)。歐幾里德的《幾何原本》是幾何學(xué)史上有深遠(yuǎn)影響的一本書。目前，我們學(xué)習(xí)的幾何學(xué)課本多是以《幾何原本》為依據(jù)編寫的。
我國(guó)對(duì)幾何學(xué)的研究也有悠久的歷史。在公元前一千年前，在我國(guó)的黑陶文化時(shí)期，陶器上的花紋就有菱形、正方形和圓內(nèi)接正方形等許多幾何圖形。公元前五百年，在墨翟所著的《墨經(jīng)》里有幾何圖形的一些知識(shí)。在《九章算術(shù)》里，記載了土地面積和物體體積的計(jì)算方法。在《周髀算經(jīng)》里，記載了直角三角形的三邊之間的關(guān)系。這就是著名的“勾三股四弦五”的勾股定理，也稱為“商高定理”。商高發(fā)現(xiàn)了直角三角形的勾股定理。祖沖之的圓周率也是著稱世界的。還有我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽、王孝通等對(duì)幾何學(xué)都作出了重大的貢獻(xiàn)。
隨著工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，幾何學(xué)的知識(shí)也越來越豐富，研究的方面也越來越廣闊。

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