量子世紀(jì)的創(chuàng)世余暉——讀馮·諾依曼《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》

原創(chuàng) 李輕舟 返樸

惟愿潛心讀者深入馮·諾依曼的“間接言說(shuō)”，去真切見(jiàn)識(shí)那個(gè)“激動(dòng)人心的年代”。

Durch den ganzen logischen Apparat hindurch sprechen die physikalischen Gesetze doch von den Gegenst?nden der Welt.

物理規(guī)律借助其全部的邏輯機(jī)制間接地言說(shuō)世界中的對(duì)象。

——維特根斯坦，《邏輯哲學(xué)論》（Logisch-Philosophische Abhandlung）

撰文 | 李輕舟

重視并探討物理學(xué)在表述中呈現(xiàn)出的形式結(jié)構(gòu)及其意義是牛頓創(chuàng)立經(jīng)典力學(xué)體系以來(lái)的傳統(tǒng)。一般地，表述物理學(xué)所依賴的載體主要分為兩種：第一種是自然詞匯組成的陳述性語(yǔ)句；第二種是數(shù)學(xué)符號(hào)組成的形式表達(dá)式。以前者為主要表述方式的物理學(xué)文獻(xiàn)集中出現(xiàn)在亞里士多德到牛頓時(shí)代。大約從拉格朗日、拉普拉斯開(kāi)始，符號(hào)表達(dá)式逐漸取代了自然語(yǔ)句成為了物理學(xué)的主要表述方式。

無(wú)論是自然詞匯的陳述語(yǔ)句，還是數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)式，本質(zhì)上都可歸類于形式邏輯的命題。這些命題依靠相互之間的邏輯關(guān)系組成系統(tǒng)，即物理學(xué)在表述中呈現(xiàn)出的形式結(jié)構(gòu)。我們通過(guò)這套形式結(jié)構(gòu)邏輯地或數(shù)學(xué)地刻畫物理學(xué)的概念，而概念指向了物理世界中的客觀實(shí)在，從而“間接地言說(shuō)”物理世界，如同愛(ài)因斯坦、波多爾斯基、羅森在“EPR”[1]中指出的那樣：“這些概念對(duì)應(yīng)于客觀實(shí)在，而我們通過(guò)它們向自己描繪了實(shí)在?！?/p>

歷史上，物理學(xué)家對(duì)形式及其意義的興趣可以從麥克斯韋的一段經(jīng)典論述中得到驗(yàn)證。在著名的電磁理論文獻(xiàn)《論法拉第的力線》[2]中，麥克斯韋明確指出了形式（數(shù)學(xué)表達(dá)式）的重要性，他說(shuō)：“為了獲得不依賴固有理論的物理學(xué)新概念，我們必須善用物理類比。所謂物理類比，是指利用科學(xué)規(guī)律之間的局部相似性，用它們中的一個(gè)去說(shuō)明另一個(gè)。因此，所有的數(shù)理科學(xué)要建立在物理學(xué)規(guī)律與數(shù)學(xué)規(guī)律之間關(guān)系的基礎(chǔ)之上，所以精密科學(xué)的目的在于將自然界的難題以數(shù)的手段還原為量的判斷。通過(guò)最普遍的類比到極小的局部，我們發(fā)現(xiàn)正是兩種不同現(xiàn)象相同的數(shù)學(xué)表達(dá)形式催生了光的物理學(xué)理論。”

圖1 邏輯原子論的代表人物：羅素（B. Russell）與維特根斯坦（L. Wittgenstein）

隨著分析哲學(xué)中“邏輯原子論”（logical atomism）的一度興盛以及數(shù)學(xué)或物理學(xué)中“物理學(xué)公理化”（mathematical treatment of the axioms of physics）運(yùn)動(dòng)的推進(jìn)，對(duì)物理學(xué)形式結(jié)構(gòu)的探討已經(jīng)取得了長(zhǎng)足的進(jìn)展。20世紀(jì)初才正式進(jìn)入人們視野的物理學(xué)公理化，其實(shí)一直是經(jīng)典物理學(xué)的一個(gè)潛在的歷史傳統(tǒng)，它可以追溯到牛頓在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》（Philosophi? Naturalis Principia Mathematica, 1687）中對(duì)歐氏幾何學(xué)的“模仿”，哥德?tīng)栐?jīng)評(píng)論道[3]：“物理學(xué)家對(duì)公理化方法缺乏興趣，就像一層偽裝：這個(gè)方法不是別的，就是清晰的思維。牛頓把物理學(xué)公理化，因而把它變成了一門科學(xué)?！?/p>

圖2 在普林斯頓漫步的愛(ài)因斯坦與哥德?tīng)枺↘. G?del）。哥德?tīng)柵c著名的“維也納學(xué)派”（Wiener Kreis）過(guò)從甚密，該學(xué)派深受馬赫、羅素和維特根斯坦思想的影響。

然而，物理學(xué)公理化在世紀(jì)之交被正式提出來(lái)并受到一定程度的重視，完全得益于一場(chǎng)由數(shù)學(xué)家或者說(shuō)數(shù)學(xué)物理學(xué)家發(fā)起的物理學(xué)公理化運(yùn)動(dòng)。1900年，希爾伯特在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上宣讀了題為《數(shù)學(xué)問(wèn)題》（Mathematical Problems）[4]的著名演講。在這篇演講中，希爾伯特向當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界提出了23個(gè)有待深入研究的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)方向或難題，合稱“希爾伯特問(wèn)題”。其中第6個(gè)問(wèn)題，即“物理學(xué)的公理化”，希爾伯特對(duì)此的闡述是：“對(duì)幾何學(xué)基礎(chǔ)的探討暗示了這樣一個(gè)問(wèn)題：可以借助公理且運(yùn)用相同的方法處理數(shù)學(xué)在其中扮演著重要角色的物理科學(xué)；首要解決的便是概率論和力學(xué)?！痹诮o出一些路線上的提示后（比如馬赫、赫茲、玻爾茲曼等人的方法），希爾伯特進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)：“此外，數(shù)學(xué)家的責(zé)任是在每個(gè)實(shí)例中嚴(yán)格檢驗(yàn)這些新公理是否與舊的相容。物理學(xué)家，當(dāng)理論取得進(jìn)展時(shí)，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)自己為實(shí)驗(yàn)結(jié)果所迫而去構(gòu)造新的假設(shè)，為了使這些新假設(shè)與舊的公理相容，他不得不依賴這些實(shí)驗(yàn)或某些物理直覺(jué)，而這種經(jīng)驗(yàn)在理論的嚴(yán)格邏輯構(gòu)建中是不被允許的。對(duì)我來(lái)說(shuō)，令人滿意地證明所有假設(shè)的相容性同樣很重要，因?yàn)楂@得每一個(gè)證明的努力總會(huì)最有效地迫使我們達(dá)到一個(gè)嚴(yán)格的公理表述?！彪m然，希爾伯特對(duì)形式系統(tǒng)公理相容性證明（在所謂“超限公理”的約束下）的預(yù)期最終被哥德?tīng)栕C明為不可能（涉及希爾伯特第2問(wèn)題“算術(shù)公理系統(tǒng)的相容性”、“希爾伯特形式主義綱領(lǐng)”和“哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ怼保?，但物理學(xué)公理化的號(hào)召還是得到了相當(dāng)可觀的積極響應(yīng)。在隨后30多年時(shí)間里，這場(chǎng)運(yùn)動(dòng)取得了四項(xiàng)進(jìn)展：1909年，哈梅爾（G. Hamel）在分析力學(xué)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了力學(xué)的公理化[5]。同年，卡拉西奧多里確立了公理化熱力學(xué)的基礎(chǔ)[6]。1932年，馮·諾依曼出版了《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik），該文獻(xiàn)被視為遵循希爾伯特路線的一個(gè)量子力學(xué)公理化范本。1933年，柯?tīng)柲缏宸虺霭媪恕陡怕蔬\(yùn)算的基礎(chǔ)》（Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung），建立了嚴(yán)格的公理化概型，概率論實(shí)現(xiàn)了公理化乃至“數(shù)學(xué)化”。

圖3 希爾伯特（D. Hilbert）、卡拉西奧多里（C. Caratheodory）與柯?tīng)柲缏宸颍ě? Н. Колмогоров）

20世紀(jì)20年代以降，量子力學(xué)由初創(chuàng)階段轉(zhuǎn)向縱深發(fā)展，馮·諾依曼的量子力學(xué)公理化為量子力學(xué)的哥本哈根詮釋提供了一個(gè)符合希爾伯特期待的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。1930年，狄拉克在《量子力學(xué)原理》（The Principles of Quantum Mechanics）中給出了量子力學(xué)（包括發(fā)表于1925年的矩陣力學(xué)和1926年的波動(dòng)力學(xué)）的統(tǒng)一數(shù)學(xué)表述形式。在《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》中，馮·諾依曼首先肯定了狄拉克的嘗試，但同時(shí)指出了其在數(shù)學(xué)嚴(yán)密性上的不足（比如δ函數(shù)的引入）?；谕鉅栂蛄靠臻g的公理體系（見(jiàn)《空間、時(shí)間、物質(zhì)：廣義相對(duì)論講義》，Raum, Zeit, Materie :Vorlesungen über allgemeine Relativit?tstheorie, 1918），馮·諾依曼為量子力學(xué)的傳統(tǒng)表述（即哥本哈根詮釋）賦予了一個(gè)新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——希爾伯特空間，并在該空間中展開(kāi)厄密算符理論作為量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

圖4 外爾（H. Weyl）、狄拉克（P. Dirac）與馮·諾依曼（John von Neumann）

在外爾公理系中，可以定義內(nèi)積誘導(dǎo)范數(shù)的賦范空間。對(duì)一個(gè)內(nèi)積誘導(dǎo)范數(shù)的賦范空間 H，

是一個(gè)點(diǎn)列，若滿足如下條件：

則稱{xn} 是 H 中的一個(gè)基本列或柯西列。若 H 中每一個(gè)柯西列都收斂于 H 中的點(diǎn)，即

則稱 H 具有完備性。這樣一個(gè)完備的內(nèi)積誘導(dǎo)范數(shù)的賦范空間，即希爾伯特空間。

另一方面，對(duì)一個(gè)向量空間 L ，若

則稱 B 為 L 的哈梅爾基，記為 L=spanB 。若 L 為賦范空間，可將x及其聚點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)閉包。若這個(gè)閉包等于 L，則稱 B 為 L 的完全基，記為

。特別地，若 B 可列，則

此時(shí) B 為 L 的肖德?tīng)柣Ｔ趦?nèi)積空間中，可以為 B 中元素加上互為正交歸一的條件。

綜上，馮·諾依曼使用的希爾伯特空間就是一個(gè)存在正交歸一化肖德?tīng)柣耐陚鋬?nèi)積空間。由于肖德?tīng)柣拇嬖?，這個(gè)空間是無(wú)窮維的，即無(wú)窮維希爾伯特空間。

馮·諾依曼把無(wú)窮維的希爾伯特空間作為量子力學(xué)的相空間或態(tài)空間。這就引出了馮·諾依曼公理系的第一公理，它可被表述為：

公理I. 量子力學(xué)的態(tài)函數(shù) 為希爾伯特空間的元素。

這條公理在物理上陳述了薛定諤的波函數(shù)，其所有物理性質(zhì)都可以由希爾伯特空間的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確地刻畫。對(duì)所選定的特定表象， 展開(kāi)的本征態(tài)函數(shù)即希爾伯特空間中的肖德?tīng)柣?/p>

在希爾伯特空間上，定義映射

的線性算符 T ，其定義域 D(T) 在 H 中稠密，則伴隨運(yùn)算

中， T+可由下式定義：

D(T+) 為所有 f∈H ，

，故 z=T+f 。若

，稱 T 為對(duì)稱算符；若 T=T+，則稱 T 為自伴隨算符。如果

則稱算符 T 具有連續(xù)性，連續(xù)的自伴隨算符就是厄密算符。這就可以引出馮·諾依曼公理系第二公理，表述為：

公理II. 經(jīng)典力學(xué)量存在對(duì)應(yīng)的厄密算符。算符記為

，且

稱常量 λ 為

的本征值， ψ 為

的本征函數(shù)并組成該算符的完全系

馮·諾依曼公理系中還有一個(gè)類似牛頓第二定律地位的公理，其數(shù)學(xué)表述即著名的薛定諤方程：

公理III. 滿足薛定諤方程

為哈密頓量對(duì)應(yīng)的哈密頓算符。

根據(jù)這兩個(gè)公理，我們可以很方便地導(dǎo)出定態(tài)薛定諤方程等一系列重要結(jié)論。公理III的數(shù)學(xué)表述形式是在薛定諤工作上展開(kāi)的，它表征了波函數(shù)連續(xù)的演化過(guò)程，但并沒(méi)有刻畫波函數(shù)在測(cè)量條件下的坍縮機(jī)制。對(duì)這個(gè)機(jī)制的表述可以歸納為馮·諾依曼公理系第四公理：

公理IV. 對(duì)經(jīng)典力學(xué)量 F 測(cè)量，所得平均值

任意一次測(cè)量所得值為本征值 λn，概率為|cn|2。

公理IV實(shí)際上陳述了波函數(shù)在實(shí)驗(yàn)中的物理意義，涉及玻恩的波函數(shù)統(tǒng)計(jì)解釋以及頗具爭(zhēng)議性的測(cè)量問(wèn)題（測(cè)量主體與客體交互過(guò)程中的波函數(shù)坍縮）。

除了粒子全同性原理和自旋假設(shè)外，馮·諾依曼公理系涵蓋了非相對(duì)論性量子力學(xué)的全部基本規(guī)律。從該公理系出發(fā)，馮·諾依曼在更嚴(yán)格的意義上證明了矩陣力學(xué)和波動(dòng)力學(xué)兩種表述方式的數(shù)學(xué)等價(jià)性，并且通過(guò)證明現(xiàn)行量子力學(xué)理論體系不存在定域隱變量，在一定程度上支持了玻爾一派期望的量子力學(xué)“完備性”。馮·諾依曼公理系及其定域隱變量不存在的證明影響了后來(lái)玻姆、貝爾等人對(duì)量子力學(xué)基礎(chǔ)的考察，而他為之建立起來(lái)的數(shù)學(xué)體系和方法也促進(jìn)了現(xiàn)代泛函分析的發(fā)展。

圖5《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》扉頁(yè)（1932年德文原版與1955年英譯版）

筆者曾對(duì)這種“間接言說(shuō)”的“語(yǔ)言”本身——物理學(xué)的理論表述形式——抱有濃厚興趣。大約十年前，在撰寫學(xué)士學(xué)位論文期間，藉由梳理物理學(xué)公理化歷史，筆者第一次獲知量子世紀(jì)的“創(chuàng)世余暉”——《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》。為了更方便地閱讀，筆者專門托在北大數(shù)學(xué)系就讀的友人去北大圖書館搜尋，幸而找到了1955年的英譯本（Robert T. Beyer譯，普林斯頓大學(xué)出版社出版）。友人將原書復(fù)印裝訂成冊(cè)，千里迢迢寄送到我手中，使我有機(jī)會(huì)直面20世紀(jì)頂級(jí)的天才大腦......老實(shí)講，那不是什么輕松的閱讀體驗(yàn)，文章完成，也就相忘于江湖了。所謂“浮云一別后，流水十年間”，未曾想科學(xué)出版社近日推出了這部名著的中譯本（凌復(fù)華譯，李繼彬校），編輯朋友為督促我學(xué)習(xí)，第一時(shí)間寄來(lái)了新書。舊書重讀如老友重逢，奈何歲月蹉跎，學(xué)問(wèn)無(wú)所長(zhǎng)進(jìn)，率爾操觚，惟愿潛心讀者深入馮·諾依曼的“間接言說(shuō)”，去真切見(jiàn)識(shí)那個(gè)“激動(dòng)人心的年代”（狄拉克語(yǔ)）。

參考文獻(xiàn)

[1] A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen. Can Quantum-Mechanics Deion of Physical Reality Be Considered Complete? [J]. Phys. Rev., 1935, 47.

[2] J. Maxwell. On Faraday’s Lines of Force[J]. Transactions of The Cambridge Philosophical Society,1855,10.

[3] H. Wang（王浩）. 邏輯之旅：從哥德?tīng)柕秸軐W(xué)[M]. 邢滔滔、郝兆寬、汪蔚，譯.杭州：浙江大學(xué)出版社，2008.

[4] D. Hilbert. Mathematical Problems[J]. BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, 2000, 37(4).

[5] G. Hamel.über die Grundlagen der Mechanik[J]. Mathematische Annalen, 1909, 66.

[6] C.Caratheodory.Untersuchungen über die Grundlagen der Thermodznamik[J]. Mathematische Annalen, 1909, 67.

原標(biāo)題：《量子世紀(jì)的創(chuàng)世余暉——讀馮·諾依曼《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》｜展卷》

閱讀原文

文章來(lái)源于網(wǎng)絡(luò)，所有權(quán)歸原作者所有，大道家園只作為存儲(chǔ)空間，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系我們進(jìn)行刪除。

本文地址:http://www.mcys1996.com/guoxue/133271.html.

聲明： 我們致力于保護(hù)作者版權(quán)，注重分享，被刊用文章因無(wú)法核實(shí)真實(shí)出處，未能及時(shí)與作者取得聯(lián)系，或有版權(quán)異議的，請(qǐng)聯(lián)系管理員，我們會(huì)立即處理，本站部分文字與圖片資源來(lái)自于網(wǎng)絡(luò)，轉(zhuǎn)載是出于傳遞更多信息之目的,若有來(lái)源標(biāo)注錯(cuò)誤或侵犯了您的合法權(quán)益，請(qǐng)立即通知我們(管理員郵箱：douchuanxin@foxmail.com)，情況屬實(shí)，我們會(huì)第一時(shí)間予以刪除，并同時(shí)向您表示歉意,謝謝!

上一篇: 為什么政治人物容易出軌

下一篇: 臺(tái)灣青年楊品驊：歷史還給臺(tái)灣少數(shù)民族···