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    為什么說《重差算法》是多項(xiàng)式方程求解的寶典?

    佚名 2025-03-26 10:05:44

    為什么說《重差算法》是多項(xiàng)式方程求解的寶典

    在古代數(shù)學(xué)的輝煌殿堂中,《重差算法》猶如一顆璀璨的明珠,它不僅是多項(xiàng)式方程求解方法的集大成者,更是古代數(shù)學(xué)家們智慧的結(jié)晶。今天,就讓我們一起揭開這部古典算法的神秘面紗,探尋其中蘊(yùn)含的深邃數(shù)學(xué)原理和古人的非凡智慧。

    《重差算法》作為古代數(shù)學(xué)的重要典籍,對于多項(xiàng)式方程的求解方法有著獨(dú)到的見解和精湛的技藝。在那個(gè)時(shí)代,沒有現(xiàn)代的計(jì)算器和計(jì)算機(jī),數(shù)學(xué)家們憑借著紙筆和堅(jiān)韌不拔的精神,一步步推導(dǎo)出了這些精妙的算法。

    一開篇,我們不得不提的是《重差算法》中對于多項(xiàng)式方程的基本分類。古代數(shù)學(xué)家們將多項(xiàng)式方程根據(jù)次數(shù)和形式的不同,進(jìn)行了細(xì)致的劃分。這種分類不僅有助于更系統(tǒng)地理解各類方程的性質(zhì),還為后續(xù)的求解過程奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

    接下來,書中詳細(xì)介紹了如何通過“消元法”和“代入法”等技巧來簡化復(fù)雜的方程。這些方法雖然在今天看來是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ),但在那個(gè)時(shí)代,卻是數(shù)學(xué)家們經(jīng)過無數(shù)次的試錯(cuò)和總結(jié)才得以形成。每一種方法背后,都隱藏著數(shù)學(xué)家們對數(shù)字的深刻理解和不懈追求。

    在《重差算法》中,對于高次方程的求解尤為引人注目。古代數(shù)學(xué)家們巧妙地利用了多項(xiàng)式的性質(zhì),通過因式分解、配方等手法,將復(fù)雜的高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程或更易求解的形式。這種化繁為簡的思想,不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家們的智慧,也為后來的數(shù)學(xué)發(fā)展提供了重要的啟示。

    除了具體的求解方法,《重差算法》還深入探討了多項(xiàng)式方程解的存在性和唯一性問題。在古代,這些問題無疑是極具挑戰(zhàn)性的。然而,通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砗途畹臄?shù)學(xué)構(gòu)造,數(shù)學(xué)家們不僅證明了某些特定條件下解的存在性和唯一性,還進(jìn)一步揭示了多項(xiàng)式方程解的內(nèi)在規(guī)律?!吨夭钏惴ā分械那蠼夥椒ú⒎枪铝⒋嬖?,而是與當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)文化和哲學(xué)思想緊密相連。例如,在求解過程中,數(shù)學(xué)家們常常運(yùn)用“天人合一”的哲學(xué)觀念,將自然界的和諧與數(shù)學(xué)中的平衡相類比,從而更深刻地理解方程解的本質(zhì)。

    《重差算法》對其求解方法不僅被應(yīng)用于幾何、天文等領(lǐng)域,還為后來的代數(shù)學(xué)、分析學(xué)等數(shù)學(xué)分支的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。《重差算法》不僅是多項(xiàng)式方程求解的寶典,更是古代數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑。古代數(shù)學(xué)家們用簡潔明了的語言,闡述了多項(xiàng)式方程求解的精髓,不僅為當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)問題提供了解決方案,更為后世的數(shù)學(xué)研究留下了寶貴的財(cái)富。

    在今天這個(gè)數(shù)字化高速發(fā)展的時(shí)代,我們或許已經(jīng)習(xí)慣了使用計(jì)算機(jī)來輕松解決各種數(shù)學(xué)問題。然而,《重差算法》提醒我們,數(shù)學(xué)的本質(zhì)不僅僅在于求解問題,更在于探索問題背后的邏輯和美感。因此,不妨在忙碌的現(xiàn)代生活中,靜下心來品味這份來自古代的數(shù)學(xué)智慧,感受數(shù)學(xué)家們對于真理的不懈追求和對于美的獨(dú)特詮釋。

    《重差算法》作為古代多項(xiàng)式方程求解的瑰寶,不僅展示了數(shù)學(xué)家們的超凡智慧,也為后世的數(shù)學(xué)發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在今天這個(gè)數(shù)字化時(shí)代,我們更應(yīng)該珍視這份來自古代的寶貴遺產(chǎn),從中汲取智慧,感受數(shù)學(xué)之美。

    數(shù)學(xué)分析的發(fā)展史

    一、中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展

    據(jù)《易·系辭》記載:「上古結(jié)繩而治,后世圣人易之以書契」。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數(shù)的文字。從一到十,及百、千、萬是專用的記數(shù)文字,共有13個(gè)獨(dú)立符號,記數(shù)用合文書寫,其中有十進(jìn)制制的記數(shù)法,出現(xiàn)最大的數(shù)字為三萬。

    算籌是中國古代的計(jì)算工具,而這種計(jì)算方法稱為籌算。算籌的產(chǎn)生年代已不可考,但可以肯定的是籌算在春秋時(shí)代已很普遍。

    用算籌記數(shù),有縱、橫兩種方式:

    表示一個(gè)多位數(shù)字時(shí),采用十進(jìn)位值制,各位值的數(shù)目從左到右排列,縱橫相間〔法則是:一縱十橫,百立千僵,千、十相望,萬、百相當(dāng)〕,并以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運(yùn)算建立起良好的條件。

    籌算直到十五世紀(jì)元朝末年才逐漸為珠算所取代,中國古代數(shù)學(xué)就是在籌算的基礎(chǔ)上取得其輝煌成就的。

    在幾何學(xué)方面《史記·夏本記》中說夏禹治水時(shí)已使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測量工具,并早已發(fā)現(xiàn)「勾三股四弦五」這個(gè)勾股定理〔西方稱勾股定理〕的特例。戰(zhàn)國時(shí)期,齊國人著的《考工記》匯總了當(dāng)時(shí)手工業(yè)技術(shù)的規(guī)范,包含了一些測量的內(nèi)容,并涉及到一些幾何知識,例如角的概念。

    戰(zhàn)國時(shí)期的百家爭鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,一些學(xué)派還總結(jié)和概括出與數(shù)學(xué)有關(guān)的許多抽象概念。著名的有《墨經(jīng)》中關(guān)于某些幾何名詞的定義和命題,例如:「圓,一中同長也」、「平,同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義?!?a href="/ddjy_100/224.html">莊子》記載了惠施等人的名家學(xué)說和桓團(tuán)、公孫龍等辯者提出的論題,強(qiáng)調(diào)抽象的數(shù)學(xué)思想,例如「至大無外謂之大一,至小無內(nèi)謂之小一」、「一尺之棰,日取其半,萬世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其它數(shù)學(xué)命題是相當(dāng)可貴的數(shù)學(xué)思想,但這種重視抽象性和邏輯嚴(yán)密性的新思想未能得到很好的繼承和發(fā)展。

    此外,講述陰陽八卦,預(yù)言吉兇的《易經(jīng)》已有了組合數(shù)學(xué)的萌芽,并反映出二進(jìn)制的思想。

    二、中國數(shù)學(xué)體系的形成與奠基

    這一時(shí)期包括從秦漢、魏晉、南北朝,共400年間的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史。秦漢是中國古代數(shù)學(xué)體系的形成時(shí)期,為使不斷豐富的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、理論化,數(shù)學(xué)方面的專書陸續(xù)出現(xiàn)。

    現(xiàn)傳中國歷史最早的數(shù)學(xué)專著是1984年在湖北江陵張家山出土的成書于西漢初的漢簡《算數(shù)書》,與其同時(shí)出土的一本漢簡歷譜所記乃呂后二年(公元前186年),所以該書的成書年代至晚是公元前186年(應(yīng)該在此前)。

    西漢末年〔公元前一世紀(jì)〕編纂的《周髀算經(jīng)》,盡管是談?wù)撋w天說宇宙論的天文學(xué)著作,但包含許多數(shù)學(xué)內(nèi)容,在數(shù)學(xué)方面主要有兩項(xiàng)成就:(1)提出勾股定理的特例及普遍形式;(2)測太陽高、遠(yuǎn)的陳子測日法,為后來重差術(shù)(勾股測量法)的先驅(qū)。此外,還有較復(fù)雜的開方問題和分?jǐn)?shù)運(yùn)算等。

    《九章算術(shù)》是一部經(jīng)幾代人整理、刪補(bǔ)和修訂而成的古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作,約成書于東漢初年〔公元前一世紀(jì)〕。全書采用問題集的形式編寫,共收集了246個(gè)問題及其解法,分屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、各種面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測量的計(jì)算等。在代數(shù)方面,《方程》章中所引入的負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則,在世界數(shù)學(xué)史上都是最早的記載;書中關(guān)于線性方程組的解法和現(xiàn)在中學(xué)講授的方法基本相同。就《九章算術(shù)》的特點(diǎn)來說,它注重應(yīng)用,注重理論聯(lián)系實(shí)際,形成了以籌算為中心的數(shù)學(xué)體系,對中國古算影響深遠(yuǎn)。它的一些成就如十進(jìn)制值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯,并通過這些國家傳到歐洲,促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。

    魏晉時(shí)期中國數(shù)學(xué)在理論上有了較大的發(fā)展。其中趙爽(生卒年代不詳)和劉徽(生卒年代不詳)的工作被認(rèn)為是中國古代數(shù)學(xué)理論體系的開端。三國吳人趙爽是中國古代對數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明的最早的數(shù)學(xué)家之一,對《周髀算經(jīng)》做了詳盡的注釋,在《勾股圓方圖注》中用幾何方法嚴(yán)格證明了勾股定理,他的方法已體現(xiàn)了割補(bǔ)原理的思想。趙爽還提出了用幾何方法求解二次方程的新方法。263年,三國魏人劉徽注釋《九章算術(shù)》,在《九章算術(shù)注》中不僅對原書的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo),系統(tǒng)地闡述了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理,而且在其論述中多有創(chuàng)造,在卷1《方田》中創(chuàng)立割圓術(shù)(即用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積的辦法),為圓周率的研究工作奠定理論基礎(chǔ)和提供了科學(xué)的算法,他運(yùn)用“割圓術(shù)”得出圓周率的近似值為3927/1250(即3.1416);在《商功》章中,為解決球體積公式的問題而構(gòu)造了“牟合方蓋”的幾何模型,為祖暅獲得正確結(jié)果開辟了道路;為建立多面體體積理論,運(yùn)用極限方法成功地證明了陽馬術(shù);他還撰著《海島算經(jīng)》,發(fā)揚(yáng)了古代勾股測量術(shù)----重差術(shù)。

    南北朝時(shí)期的社會(huì)長期處于戰(zhàn)爭和分裂狀態(tài),但數(shù)學(xué)的發(fā)展依然蓬勃。出現(xiàn)了《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》等算學(xué)著作。約于公元四-五世紀(jì)成書的《孫子算經(jīng)》給出「物不知數(shù)」問題并作了解答,導(dǎo)致求解一次同余組問題在中國的濫暢;《張丘建算經(jīng)》的「百雞問題」引出三個(gè)未知數(shù)的不定方程組問題。

    公元五世紀(jì),祖沖之、祖暅父子的工作在這一時(shí)期最具代表性,他們在《九章算術(shù)》劉徽注的基礎(chǔ)上,將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步,成為重視數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理的典范。他們同時(shí)在天文學(xué)上也有突出的貢獻(xiàn)。其著作《綴術(shù)》已失傳,根據(jù)史料記載,他們在數(shù)學(xué)上主要有三項(xiàng)成就:(1)計(jì)算圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第六位,得到3.1415926 <π< 3.1415927,并求得π的約率為22/7,密率為355/113,其中密率是分子分母在1000以內(nèi)的最佳值,歐洲直到十六世紀(jì)德國人鄂圖(valentinus otto)和荷蘭人安托尼茲(a.anthonisz)才得出同樣結(jié)果;(2)祖暅在劉徽工作的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出球體體積的正確公式,并提出"冪勢既同則積不容異"的體積原理,即二立體等高處截面積均相等則二體體積相等的定理。歐洲十七世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利(bonaventura cavalieri)才提出同一定理;(3)發(fā)展了二次與三次方程的解法。

    同時(shí)代的天文歷學(xué)家何承天創(chuàng)調(diào)日法,以有理分?jǐn)?shù)逼近實(shí)數(shù),發(fā)展了古代的不定分析與數(shù)值逼近算法。

    三、中國數(shù)學(xué)教育制度的建立

    隋朝大興土木,客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通撰《緝古算經(jīng)》,主要是通過土木工程中計(jì)算土方、工程的分工與驗(yàn)收以及倉庫和地窖計(jì)算等實(shí)際問題,討論如何以幾何方式建立三次多項(xiàng)式方程,發(fā)展了《九章算術(shù)》中的少廣、勾股章中開方理論。

    隋唐時(shí)期是中國封建官僚制度建立時(shí)期,隨著科舉制度與國子監(jiān)制度的確立,數(shù)學(xué)教育有了長足的發(fā)展。656年國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館,設(shè)有算學(xué)博士和助教,由太史令李淳風(fēng)等人編纂注釋《算經(jīng)十書》〔包括《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》和《綴術(shù)》〕,作為算學(xué)館學(xué)生用的課本。對保存古代數(shù)學(xué)經(jīng)典起了重要的作用。

    由于南北朝時(shí)期的一些重大天文發(fā)現(xiàn)在隋唐之交開始落實(shí)到歷法編算中,使唐代歷法中出現(xiàn)一些重要的數(shù)學(xué)成果。公元600年,隋代劉焯在制訂《皇極歷》時(shí),在世界上最早提出了等間距二次內(nèi)插公式,這在數(shù)學(xué)史上是一項(xiàng)杰出的創(chuàng)造,唐代僧一行在其《大衍歷》中將其發(fā)展為不等間距二次內(nèi)插公式。

    唐朝后期,計(jì)算技術(shù)有了進(jìn)一步的改進(jìn)和普及,出現(xiàn)很多種實(shí)用算術(shù)書,對于乘除算法力求簡捷。

    四、中國數(shù)學(xué)發(fā)展的高峰

    唐朝亡后,五代十國仍是軍閥混戰(zhàn)的繼續(xù),直到北宋王朝統(tǒng)一了中國,農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)迅速繁榮,科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)。從公元十一世紀(jì)到十四世紀(jì)〔宋、元兩代〕,籌算數(shù)學(xué)達(dá)到極盛,是中國古代數(shù)學(xué)空前繁榮,碩果累累的全盛時(shí)期。這一時(shí)期出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作,列舉如下:賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》〔11世紀(jì)中葉〕,劉益的《議古根源》〔12世紀(jì)中葉〕,秦九韶的《數(shù)書九章》〔1247〕,李冶的《測圓海鏡》〔1248〕和《益古演段》〔1259〕,楊輝的《詳解九章算法》〔1261〕、《日用算法》〔1262〕和《楊輝算法》〔1274-1275〕,朱世杰的《算學(xué)啟蒙》〔1299〕和《四元玉鑒》〔1303〕等等。 宋元數(shù)學(xué)在很多領(lǐng)域都達(dá)到了中國古代數(shù)學(xué),也是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的巔峰。其中主要的工作有:

    公元1050年左右,北宋賈憲(生卒年代不詳)在《黃帝九章算法細(xì)草》中創(chuàng)造了開任意高次冪的“增乘開方法”,公元1819年英國人霍納(william george horner)才得出同樣的方法。賈憲還列出了二項(xiàng)式定理系數(shù)表,歐洲到十七世紀(jì)才出現(xiàn)類似的“巴斯加三角”。(《黃帝九章算法細(xì)草》已佚)

    公元1088—1095年間,北宋沈括從“酒家積罌”數(shù)與“層壇”體積等生產(chǎn)實(shí)踐問題提出了“隙積術(shù)”,開始對高階等差級數(shù)的求和進(jìn)行研究,并創(chuàng)立了正確的求和公式。沈括還提出“會(huì)圓術(shù)”,得出了我國古代數(shù)學(xué)史上第一個(gè)求弧長的近似公式。他還運(yùn)用運(yùn)籌思想分析和研究了后勤供糧與運(yùn)兵進(jìn)退的關(guān)系等問題。

    公元1247年,南宋秦九韶在《數(shù)書九章》中推廣了增乘開方法,敘述了高次方程的數(shù)值解法,他列舉了二十多個(gè)來自實(shí)踐的高次方程的解法,最高為十次方程。歐洲到十六世紀(jì)意大利人菲爾洛(scipio del ferro)才提出三次方程的解法。秦九韶還系統(tǒng)地研究了一次同余式理論。

    公元1248年,李冶(李治,公元1192一1279年)著的《測圓海鏡》是第一部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”(一元高次方程)的著作,這在數(shù)學(xué)史上是一項(xiàng)杰出的成果。在《測圓海鏡?序》中,李冶批判了輕視科學(xué)實(shí)踐,以數(shù)學(xué)為“九九賤技”、“玩物喪志”等謬論。

    公元1261年,南宋楊輝(生卒年代不詳)在《詳解九章算法》中用“垛積術(shù)”求出幾類高階等差級數(shù)之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了“九歸捷法”,介紹了籌算乘除的各種運(yùn)算法。公元1280年,元代王恂、郭守敬等制訂《授時(shí)歷》時(shí),列出了三次差的內(nèi)插公式。郭守敬還運(yùn)用幾何方法求出相當(dāng)于現(xiàn)在球面三角的兩個(gè)公式。

    公元1303年,元代朱世杰(生卒年代不詳)著《四元玉鑒》,他把“天元術(shù)”推廣為“四元術(shù)”(四元高次聯(lián)立方程),并提出消元的解法,歐洲到公元1775年法國人別朱(etienne bezout)才提出同樣的解法。朱世杰還對各有限項(xiàng)級數(shù)求和問題進(jìn)行了研究,在此基礎(chǔ)上得出了高次差的內(nèi)插公式,歐洲到公元1670年英國人格里高利(james gregory)和公元1676一1678年間牛頓(issac newton)才提出內(nèi)插法的一般公式。

    公元十四世紀(jì)我國人民已使用珠算盤。在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前,珠算盤是世界上簡便而有效的計(jì)算工具。

    五、中國數(shù)學(xué)的衰落與日用數(shù)學(xué)的發(fā)展

    這一時(shí)期指十四世紀(jì)中葉明王朝建立到明末的1582年。數(shù)學(xué)除珠算外出現(xiàn)全面衰弱的局面,當(dāng)中涉及到中算的局限、十三世紀(jì)的考試制度中已刪減數(shù)學(xué)內(nèi)容、明代大興八段考試制度等復(fù)雜的問題,不少中外數(shù)學(xué)史家仍探討當(dāng)中涉及的原因。

    明代最大的成就是珠算的普及,出現(xiàn)了許多珠算讀本,及至程大位的《直指算法統(tǒng)宗》〔1592〕問世,珠算理論已成系統(tǒng),標(biāo)志著從籌算到珠算轉(zhuǎn)變的完成。但由于珠算流行,籌算幾乎絕跡,建立在籌算基礎(chǔ)上的古代數(shù)學(xué)也逐漸失傳,數(shù)學(xué)出現(xiàn)長期停滯。

    六、西方初等數(shù)學(xué)的傳入與中西合璧

    十六世紀(jì)末開始,西方傳教士開始到中國活動(dòng),由于明清王朝制定天文歷法的需要,傳教士開始將與天文歷算有關(guān)的西方初等數(shù)學(xué)知識傳入中國,中國數(shù)學(xué)家在“西學(xué)中源”思想支配下,數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)了一個(gè)中西融合貫通的局面。

    十六世紀(jì)末,西方傳教士和中國學(xué)者合譯了許多西方數(shù)學(xué)專著。其中第一部且有重大影響的是意大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷〔1607〕,其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測量異同》和《勾股義》便應(yīng)用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國的勾股測望術(shù)。此外,《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創(chuàng),且沿用至今。在輸入的西方數(shù)學(xué)中僅次于幾何的是三角學(xué)。在此之前,三角學(xué)只有零星的知識,而此后獲得迅速發(fā)展。介紹西方三角學(xué)的著作有鄧玉函編譯的《大測》〔2卷,1631〕、《割圓八線表》〔6卷〕和羅雅谷的《測量全義》〔10卷,1631〕。在徐光啟主持編譯的《崇禎歷書》〔137卷,1629-1633〕中,介紹了有關(guān)圓椎曲線的數(shù)學(xué)知識。

    入清以后,會(huì)通中西數(shù)學(xué)的杰出代表是梅文鼎,他堅(jiān)信中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)「必有精理」,對古代名著做了深入的研究,同時(shí)又能正確對待西方數(shù)學(xué),使之在中國扎根,對清代中期數(shù)學(xué)研究的高潮是有積極影響的。與他同時(shí)代的數(shù)學(xué)家還有王錫闡和年希堯等人。 清康熙帝愛好科學(xué)研究,他「御定」的《數(shù)理精蘊(yùn)》〔53卷,1723〕,是一部比較全面的初等數(shù)學(xué)書,對當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)研究有一定影響。

    七、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的整理與復(fù)興

    乾嘉年間形成一個(gè)以考據(jù)學(xué)為主的干嘉學(xué)派,編成《四庫全書》,其中數(shù)學(xué)著作有《算經(jīng)十書》和宋元時(shí)期的著作,為保存瀕于湮沒的數(shù)學(xué)典籍做出重要貢獻(xiàn)。

    在研究傳統(tǒng)數(shù)學(xué)時(shí),許多數(shù)學(xué)家還有發(fā)明創(chuàng)造,例如有「談天三友」之稱的焦循、汪萊及李銳作出不少重要的工作。李善蘭在《垛積比類》〔約1859〕中得到三角自乘垛求和公式,現(xiàn)在稱之為「李善蘭恒等式」。這些工作較宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)進(jìn)了一步。阮元、李銳等人編寫了一部天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家傳記《疇人傳》46卷〔1795-1810〕,開數(shù)學(xué)史研究之先河。

    八、西方數(shù)學(xué)再次東進(jìn)

    1840年鴉戰(zhàn)爭后,閉關(guān)鎖國政策被迫中止。同文館內(nèi)添設(shè)「算學(xué)」,上海江南制造局內(nèi)添設(shè)翻譯館,由此開始第二次翻譯引進(jìn)的高潮。主要譯者和著作有:李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》后9卷〔1857〕,使中國有了完整的《幾何原本》中譯本;《代數(shù)學(xué)》13卷〔1859〕;《代微積拾級》18卷〔1859〕。李善蘭與英國傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說》3卷,華蘅芳與英國傳教士傅蘭雅合譯《代數(shù)術(shù)》25卷〔1872〕,《微積溯源》8卷〔1874〕,《決疑數(shù)學(xué)》10卷〔1880〕等。在這些譯著中,創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞和術(shù)語,至今仍在應(yīng)用。 1898年建立京師大學(xué)堂,同文館并入。1905年廢除科舉,建立西方式學(xué)校教育,使用的課本也與西方其它各國相仿。

    九、中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的建立

    這一時(shí)期是從20世紀(jì)初至今的一段時(shí)間,常以1949年新中國成立為標(biāo)志劃分為兩個(gè)階段。

    中國近現(xiàn)代數(shù)學(xué)開始于清末民初的留學(xué)活動(dòng)。較早出國學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有1903年留日的馮祖荀,1908年留美的鄭之蕃,1910年留美的胡明復(fù)和趙元任,1911年留美的姜立夫,1912年留法的何魯,1913年留日的陳建功和留比利時(shí)的熊慶來〔1915年轉(zhuǎn)留法〕,1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數(shù)回國后成為著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家,為中國近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)。其中胡明復(fù)1917年取得美國哈佛大學(xué)博士學(xué)位,成為第一位獲得博士學(xué)位的中國數(shù)學(xué)家。隨著留學(xué)人員的回國,各地大學(xué)的數(shù)學(xué)教育有了起色。最初只有北京大學(xué)1912年成立時(shí)建立的數(shù)學(xué)系,1920年姜立夫在天津南開大學(xué)創(chuàng)建數(shù)學(xué)系,1921年和1926年熊慶來分別在東南大學(xué)〔今南京大學(xué)〕和清華大學(xué)建立數(shù)學(xué)系,不久武漢大學(xué)、齊魯大學(xué)、浙江大學(xué)、中山大學(xué)陸續(xù)設(shè)立了數(shù)學(xué)系,到1932年各地已有32所大學(xué)設(shè)立了數(shù)學(xué)系或數(shù)理系。1930年熊慶來在清華大學(xué)首創(chuàng)數(shù)學(xué)研究部,開始招收研究生,陳省身、吳大任成為國內(nèi)最早的數(shù)學(xué)研究生。三十年代出國學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的還有江澤涵〔1927〕、陳省身〔1934〕、華羅庚〔1936〕、許寶騤〔1936〕等人,他們都成為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的骨干力量。同時(shí)外國數(shù)學(xué)家也有來華講學(xué)的,例如英國的羅素〔1920〕,美國的伯克霍夫〔1934〕、奧斯古德〔1934〕、維納〔1935〕,法國的阿達(dá)馬〔1936〕等人。1935年中國數(shù)學(xué)會(huì)成立大會(huì)在上海召開,共有33名代表出席。1936年〈中國數(shù)學(xué)會(huì)學(xué)報(bào)〉和《數(shù)學(xué)雜志》相繼問世,這些標(biāo)志著中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的進(jìn)一步發(fā)展。 解放以前的數(shù)學(xué)研究集中在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域,在國內(nèi)外共發(fā)表論著600余種。在分析學(xué)方面,陳建功的三角級數(shù)論,熊慶來的亞純函數(shù)與整函數(shù)論研究是代表作,另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果;在數(shù)論與代數(shù)方面,華羅庚等人的解析數(shù)論、幾何數(shù)論和代數(shù)數(shù)論以及近世代數(shù)研究取得令世人矚目的成果;在幾何與拓?fù)鋵W(xué)方面,蘇步青的微分幾何學(xué),江澤涵的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué),陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開創(chuàng)性的工作:在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面,許寶騤在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴(yán)密證明。此外,李儼和錢寶琮開創(chuàng)了中國數(shù)學(xué)史的研究,他們在古算史料的注釋整理和考證分析方面做了許多奠基性的工作,使我國的民族文化遺產(chǎn)重放光彩。

    1949年11月即成立中國科學(xué)院。1951年3月《中國數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》復(fù)刊〔1952年改為《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》〕,1951年10月《中國數(shù)學(xué)雜志》復(fù)刊〔1953年改為《數(shù)學(xué)通報(bào)》〕。1951年8月中國數(shù)學(xué)會(huì)召開建國后第一次國代表大會(huì),討論了數(shù)學(xué)發(fā)展方向和各類學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)改革問題。

    建國后的數(shù)學(xué)研究取得長足進(jìn)步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆棧素?cái)?shù)論》〔1953〕、蘇步青的《射影曲線概論》〔1954〕、陳建功的《直角函數(shù)級數(shù)的和》〔1954〕和李儼的《中算史論叢》5集〔1954-1955〕等專著,到1966年,共發(fā)表各種數(shù)學(xué)論文約2萬余篇。除了在數(shù)論、代數(shù)、幾何、拓?fù)洹⒑瘮?shù)論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)史等學(xué)科繼續(xù)取得新成果外,還在微分方程、計(jì)算技術(shù)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等分支有所突破,有許多論著達(dá)到世界先進(jìn)水平,同時(shí)培養(yǎng)和成長起一大批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家。

    60年代后期,中國的數(shù)學(xué)研究基本停止,教育癱瘓、人員喪失、對外交流中斷,后經(jīng)多方努力狀況略有改變。1970年《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》恢復(fù)出版,并創(chuàng)刊《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識》。1973年陳景潤在《中國科學(xué)》上發(fā)表《大偶數(shù)表示為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過二個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和》的論文,在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國數(shù)學(xué)家在函數(shù)論、馬爾可夫過程、概率應(yīng)用、運(yùn)籌學(xué)、優(yōu)選法等方面也有一定創(chuàng)見。

    1978年11月中國數(shù)學(xué)會(huì)召開第三次代表大會(huì),標(biāo)志著中國數(shù)學(xué)的復(fù)蘇。1978年恢復(fù)全國數(shù)學(xué)競賽,1985年中國開始參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競賽。1981年陳景潤等數(shù)學(xué)家獲國家自然科學(xué)獎(jiǎng)勵(lì)。1983年國家首批授于18名中青年學(xué)者以博士學(xué)位,其中數(shù)學(xué)工作者占2/3。1986年中國第一次派代表參加國際數(shù)學(xué)家大會(huì),加入國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會(huì),吳文俊應(yīng)邀作了關(guān)于中國古代數(shù)學(xué)史的45分鐘演講。近十幾年來數(shù)學(xué)研究碩果累累,發(fā)表論文專著的數(shù)量成倍增長,質(zhì)量不斷上升。1985年慶祝中國數(shù)學(xué)會(huì)成立50周年年會(huì)上,已確定中國數(shù)學(xué)發(fā)展的長遠(yuǎn)目標(biāo)。代表們立志要不懈地努力,爭取使中國在世界上早日成為新的數(shù)學(xué)大國。

    十、中國數(shù)學(xué)的特點(diǎn)

    (1)以算法為中心,屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)。中國數(shù)學(xué)不脫離社會(huì)生活與生產(chǎn)的實(shí)際,以解決實(shí)際問題為目標(biāo),數(shù)學(xué)研究是圍繞建立算法與提高計(jì)算技術(shù)而展開的。

    (2)具有較強(qiáng)的社會(huì)性。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中,數(shù)學(xué)被儒學(xué)家培養(yǎng)人的道德與技能的基本知識---六藝(禮、樂、射、御、書、數(shù))之一,它的作用在于“通神明、順性命,經(jīng)世務(wù)、類萬物”,所以中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)總是被打上中國哲學(xué)與古代學(xué)術(shù)思想的烙印,往往與術(shù)數(shù)交織在一起。同時(shí),數(shù)學(xué)教育與研究往往被封建政府所控制,唐宋時(shí)代的數(shù)學(xué)教育與科舉制度、歷代數(shù)學(xué)家往往是政府的天文官員,這些事例充分反映了這一性質(zhì)。

    (3)寓理于算,理論高度概括。由于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)注重解決實(shí)際問題,而且因中國人綜合、歸納思維的決定,所以中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不關(guān)心數(shù)學(xué)理論的形式化,但這并不意味中國傳統(tǒng)僅停留在經(jīng)驗(yàn)層次而無理論建樹。其實(shí)中國數(shù)學(xué)的算法中蘊(yùn)涵著建立這些算法的理論基礎(chǔ),中國數(shù)學(xué)家習(xí)慣把數(shù)學(xué)概念與方法建立在少數(shù)幾個(gè)不證自明、形象直觀的數(shù)學(xué)原理之上,如代數(shù)中的“率”的理論,平面幾何中的“出入相補(bǔ)”原理,立體幾何中的“陽馬術(shù)”、曲面體理論中的“截面原理”(或稱劉祖原理,即卡瓦列利原理)等等。

    十一、中國數(shù)學(xué)對世界的影響

    數(shù)學(xué)活動(dòng)有兩項(xiàng)基本工作----證明與計(jì)算,前者是由于接受了公理化(演繹化)數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng),后者是由于接受了機(jī)械化(算法化)數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)。在世界數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)中,以歐幾里得《幾何原本》為代表的希臘數(shù)學(xué),無疑是西方演繹數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的基礎(chǔ),而以《九章算術(shù)》為代表的中國數(shù)學(xué)無疑是東方算法化數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的基礎(chǔ),它們東西輝映,共同促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)文化的發(fā)展。

    中國數(shù)學(xué)通過絲綢之路傳播到印度、阿拉伯地區(qū),后來經(jīng)阿拉伯人傳入西方。而且在漢字文化圈內(nèi),一直影響著日本、朝鮮半島、越南等亞洲國家的數(shù)學(xué)發(fā)展。

    數(shù)學(xué)家朱世杰的故事

      引導(dǎo)語:自古以來我國出現(xiàn)了不少非常著名的數(shù)學(xué)家,那么有關(guān)數(shù)學(xué)家朱世杰的故事有哪些呢?接下來是我為你帶來收集整理的文章,歡迎閱讀!

      朱世杰(1249年-1314年),字漢卿,號松庭,漢族,燕山(今北京)人氏,元代數(shù)學(xué)家、教育家,畢生從事數(shù)學(xué)教育。有“中世紀(jì)世界最偉大的數(shù)學(xué)家”之譽(yù)。朱世杰在當(dāng)時(shí)天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展出“四元術(shù)”,也就是列出四元高次多項(xiàng)式方程,以及消元求解的方法。此外他還創(chuàng)造出“垛積法”,即高階等差數(shù)列的求和方法,與“招差術(shù)”,即高次內(nèi)插法。主要著作是《算學(xué)啟蒙》與《四元玉鑒》。

      朱世杰“以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年”,“踵門而學(xué)者云集”(莫若、祖頤:《四元玉鑒》后序)。朱世杰數(shù)學(xué)代表作有《算學(xué)啟蒙》(1299)和《四元玉鑒》(1303)。朱世杰著作《算術(shù)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著,曾流傳海外,影響了朝鮮、日本數(shù)學(xué)的發(fā)展?!端脑耔b》則是中國宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志,其中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)造有“四元術(shù)”(多元高次方程列式與消元解法)、“垛積術(shù)”(高階等差數(shù)列求和)與“招差術(shù)”(高次內(nèi)插法)。

      宋元時(shí)期,中國數(shù)學(xué)鼎盛時(shí)期中杰出的數(shù)學(xué)家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、楊﹝輝﹞、朱﹝世杰﹞四大家”,朱世杰就是其中之一。朱世杰是一位平民數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。朱世杰平生勤力研習(xí)《九章算術(shù)》,旁通其它各種算法,成為元代著名數(shù)學(xué)家。

       生平經(jīng)歷

      元統(tǒng)一中國后,朱世杰曾以數(shù)學(xué)家的身份周游各地20余年,向他求學(xué)的人很多,他到廣陵(今揚(yáng)州)時(shí)“踵門而學(xué)者云集”。他全面繼承了前人數(shù)學(xué)成果,既吸收了北方的天元術(shù),又吸收了南方的正負(fù)開方術(shù)、各種日用算法及通俗歌訣,在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了創(chuàng)造性的研究,寫成以總結(jié)和普及當(dāng)時(shí)各種數(shù)學(xué)知識為宗旨的《算學(xué)啟蒙》(3卷),又寫成四元術(shù)的代表作--《四元玉鑒》(3卷),先后于:1299年和1303年刊印.《算學(xué)啟蒙》由淺入深,從一位數(shù)乘法開始,一直講到當(dāng)時(shí)的最新數(shù)學(xué)成果――天元術(shù),形成一個(gè)完整體系。書中明確提出正負(fù)數(shù)乘法法則,給出倒數(shù)的概念和基本性質(zhì),概括出若干新的乘法公式和根式運(yùn)算法則,總結(jié)了若干乘除捷算口訣,并把設(shè)輔助未知數(shù)的方法用于解線性方程組.《四元玉鑒》的主要內(nèi)容是四元術(shù),即多元高次方程組的建立和求解方法.秦九韶的高次方程數(shù)值解法和李冶的天元術(shù)都被包含在內(nèi).朱世杰學(xué)術(shù)研究

      在宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)群英中,朱世杰的工作具有特殊重要的意義.如果把諸多數(shù)學(xué)家比作群山,則朱世杰是最高大、最雄偉的山峰.站在朱世杰數(shù)學(xué)思想的高度俯嫩傳統(tǒng)數(shù)學(xué),會(huì)有"一覽眾山小"之感.來世杰工作的意義就在于總結(jié)了宋元數(shù)學(xué),使之在理論上達(dá)到新的高度.這主要表現(xiàn)在以下三個(gè)領(lǐng)域.首先是方程理論.在列方程方面,蔣周的演段法為天元術(shù)作了準(zhǔn)備工作,他已具有尋找等值多項(xiàng)式的思想,洞淵馬與信道是天元術(shù)的先驅(qū),但他們推導(dǎo)方程仍受幾何思維的束縛,李冶基本上擺脫了這種束縛,總結(jié)出一套固定的天元術(shù)程序,使天元術(shù)進(jìn)入成熟階段.在解方程方面,賈憲給出增乘開方法,劉益則用正負(fù)開方術(shù)求出四次方程正根,秦九韶在此基礎(chǔ)上解決了高次方程的數(shù)值解法問題.至此,一元高次方程的建立和求解都已實(shí)現(xiàn).而線性方程組古已有之,所以具備了多元高次方程組產(chǎn)生的條件.李德載的二元術(shù)和劉大鑒的三元術(shù)相繼出現(xiàn),朱世杰的四元術(shù)正是對二元術(shù)、三元術(shù)的總結(jié)與提高.由于四元已把常數(shù)項(xiàng)的上下左右占滿,方程理論發(fā)展到這里,顯然就告一段落了.從方程種類看,天元術(shù)產(chǎn)生之前的方程都是整式方程。

      從洞淵到李冶,分式方程逐漸得到發(fā)展.而朱世杰,則突破了有理式的限制,開始處理無理方程.其次是高階等差級數(shù)的研究.沈括的隙積術(shù)開研究高階等差級數(shù)之先河,楊輝給出包括隙積術(shù)在內(nèi)的一系列二階等差級數(shù)求和公式.朱世杰則在此基礎(chǔ)上依次研究了二階、三階、四階乃至五階等差級數(shù)的求和問題,從而發(fā)現(xiàn)其規(guī)律,掌握了三角垛統(tǒng)一公式.他還發(fā)現(xiàn)了垛積術(shù)與內(nèi)插法的內(nèi)在聯(lián)系,利用垛積公式給出規(guī)范的四次內(nèi)插公式.第三是幾何學(xué)的研究.宋代以前,幾何研究離不開勾股和面積、體積.蔣周的《益古集》也是以面積問題為研究對象的.李冶開始注意到圓城因式中各元素的關(guān)系,得到一些定理,但未能推廣到更一般的情形.朱世杰不僅總結(jié)了前人的勾股及求積理論,而且在李冶思想的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步,深入研究了勾股形內(nèi)及圓內(nèi)各幾何元素的數(shù)量關(guān)系,發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要定理--射影定理和弦冪定理.他在立體幾何中也開始注意到圖形內(nèi)各元素的關(guān)系.朱世杰的工作,使得幾何研究的對象由圖形整體深入到圖形內(nèi)部,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的進(jìn)步。

       著名軼聞

      13世紀(jì)末,歷經(jīng)戰(zhàn)亂的'祖國為元王朝所統(tǒng)一,遭到破壞的經(jīng)濟(jì)和文化又很快繁榮起來。蒙古統(tǒng)治者為了興邦安國,便尊重知識,選拔人才,把各門科學(xué)推向新的高峰。有一天,風(fēng)景秀麗的揚(yáng)州瘦西湖畔,來了一位教書先生,在寓所門前掛起一塊招牌,上面用大字寫著:“燕山朱松庭先生,專門教授四元術(shù)”。不幾天,朱世杰門前門庭若市,求知者絡(luò)繹不絕,就在朱世杰在接待學(xué)生報(bào)名之時(shí),突然一聲聲叫罵聲引起他的注意。只見一穿綢戴銀半老徐娘,追著一年輕的姑娘,邊打邊罵:“你這賤女人,大把的銀子你不抓,難道想做大家閨秀,只怕你投錯(cuò)了胎,下輩子也別想了。”那姑娘被打得皮開肉綻,連內(nèi)身衣服都被撕壞了。姑娘蜷成一團(tuán),任憑她打,也不跟她回去。朱世杰路見不平,便上前詢問,那半老徐娘見冒出一個(gè)愛管閑事之人,就嘲笑道:“你難道想抱打不平,你送上50兩銀子,這姑娘就歸你了!”朱世杰見此情景,大怒道:“難道我掏不出50兩銀子。光天化日之下,竟胡作非為,難道沒有王法不成?”那半老徐娘諷刺道:“你這窮鬼,還談什么王法,銀子就是王法,你若能掏出50兩銀子,我便不打了?!?/p>

      朱世杰憤怒已極,從口袋里抓出50兩銀子,摔在半老徐娘面前,拉起姑娘就回到自己的教書之地。原來,那半老徐娘是鴇母,而這姑娘的父親因借鴇母的10兩銀子,由于天災(zāi),還不起銀子,只好賣女兒抵債。今天碰巧遇上朱世杰,才把姑娘救出苦海。后來,在朱世杰的精心教導(dǎo)下,這姑娘也頗懂些數(shù)學(xué)知識,成了朱世杰的得力助手,不幾年,兩人便結(jié)成夫妻。所以,揚(yáng)州民間至今還流傳著這樣一句話:元朝朱漢卿,教書又育人。救人出苦海,婚姻大事成。

       揚(yáng)州軼事

      據(jù)此我們知道,朱世杰出生在北京地區(qū),十三世紀(jì)后期,他作為數(shù)學(xué)名家周流大江南北20余年,朱世杰最后寓居揚(yáng)州,從事數(shù)學(xué)的研究和講學(xué),他吸引了眾多學(xué)者聚集在揚(yáng)州從事學(xué)術(shù)交流。揚(yáng)州處于南北交匯之地,各種學(xué)術(shù)思想在這里融會(huì)貫通;當(dāng)時(shí),揚(yáng)州的印刷業(yè)又十分發(fā)達(dá),是全國的書籍出版中心,體現(xiàn)朱世杰數(shù)學(xué)成就的兩部著作《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》,就是于元大德三年(1299年)和元大德七年(1303年)在揚(yáng)州刻印出版的?!端銓W(xué)啟蒙》全書共3卷,分為20門,收入了259個(gè)數(shù)學(xué)問題。全書之首,朱世杰給出了18條常用的數(shù)學(xué)歌訣和各種常用的數(shù)學(xué)常數(shù),其中包括:乘法九九歌訣、除法九歸歌訣(與后來的珠算歸除口訣完全相同)、斤兩化零歌訣,以及籌算記數(shù)法則、大小數(shù)進(jìn)位法、度量衡換算、圓周率、正負(fù)數(shù)加、減、乘法法則、開方法則等。正文則包括了乘除法運(yùn)算及其捷算法、增乘開方法、天元術(shù)、線性方程組解法、高階等差級數(shù)求和等,全書由淺入深,幾乎包括了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科各方面的內(nèi)容,形成了一個(gè)較完整的體系,可以說是一部很好的數(shù)學(xué)教科書。清代揚(yáng)州學(xué)者羅士琳說,《算學(xué)啟蒙》“似淺實(shí)深”,這樣的評論是十分中肯的。

      《四元玉鑒》是朱世杰闡述多年研究成果的一部力著。全書共分3卷,24門,288問,書中所有問題都與求解方程或求解方程組有關(guān),其中四元的問題(需設(shè)立四個(gè)未知數(shù)者)有7問,三元者13問,二元者36問,一元者232問。卷首列出了賈憲三角等四種五幅圖,給出了天元術(shù)、二元術(shù)、三元術(shù)、四元術(shù)的解法范例;后三者分別是二元、三元、四元高次方程組的列法及解法。創(chuàng)造四元消法,解決多元高次方程組問題是該書的最大貢獻(xiàn),書中另一個(gè)重大成就是系統(tǒng)解決高階等差級數(shù)求和問題和高次招差法問題。在朱世杰之前,中國古代數(shù)學(xué)已有了解方程的方法———“天元術(shù)”,“天元術(shù)”解方程是設(shè)“天元為某某”,某某就是(x)。朱世杰不僅繼承沿用了天元術(shù),方程組解法由二元、三元推廣至四元。未知數(shù)不止一個(gè)時(shí),除設(shè)未知數(shù)天元(x)外,還設(shè)地元(y)、人元(z)及物元(u),再列出二元、三元甚至四元的高次聯(lián)立方程組,然后求解。在歐洲,解聯(lián)立一次方程始于16世紀(jì),關(guān)于多元高次聯(lián)立方程的研究則是18、19世紀(jì)的事了,朱世杰的“天元術(shù)”比歐洲早了400多年。

      朱世杰對“垛積術(shù)”的研究,實(shí)際上得到了高階等差級數(shù)求和問題的普遍的解法。自宋代起我國就有了關(guān)于高階等差級數(shù)求和問題的研究,沈括(1031-1095年)和楊輝(1261-1275年)的著作中,都有垛積問題,這些垛積問題有一些就涉及高階等差級數(shù),朱世杰在《四元玉鑒》中又把這一問題的研究進(jìn)一步深化,得到了一串三角垛的公式。

      《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著,是宋元數(shù)學(xué)集大成者,也是我國古代水平最高的一部數(shù)學(xué)著作?,F(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究者對《四元玉鑒》給予了高度評價(jià)。著名科學(xué)史專家喬治·薩頓說,《四元玉鑒》“是中國數(shù)學(xué)著作中最重要的一部,同時(shí)也是中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一”。編著《中國科學(xué)技術(shù)史》的李約瑟這樣評價(jià)朱世杰和《四元玉鑒》:“他以前的數(shù)學(xué)家都未能達(dá)到這部精深的著作中所包含的奧妙的道理”。

      遺憾的是,朱世杰之后,元代再無高深的數(shù)學(xué)著作出現(xiàn),漢唐宋元的數(shù)學(xué)著作很少有新的刻本,很多甚至失傳了。乾隆三十七年(1772年)開《四庫全書》館時(shí),挖掘了不少古代數(shù)學(xué)典籍,朱世杰的著作卻未被發(fā)現(xiàn),因此,起初沒有編入;1799年阮元、李銳等人編纂數(shù)學(xué)家傳記《疇人傳》時(shí),也未介紹《四元玉鑒》。之后不久,阮元在浙江訪得此書,旋即將其編入《四庫全書》,并把抄本交給李銳校算(未校完),后由何元錫按此抄本刻印,這是《四元玉鑒》1303年初版以來的第一個(gè)重刻本。1839年揚(yáng)州學(xué)者羅士琳經(jīng)多年研究之后,出版了他所編著的《四元玉鑒細(xì)草》,羅氏對《四元玉鑒》書中每一問題都作了細(xì)草。就在羅士琳翻刻《四元玉鑒》時(shí),《算學(xué)啟蒙》也還無著落。后來羅士琳“聞朝鮮以是書為算科取士”,于是請人在北京找到了順治十七年(1660年)朝鮮全州府尹金始振所刻的翻刻本,這樣,《算學(xué)啟蒙》又在揚(yáng)州重新刊印出版,這就是該書現(xiàn)存各種版本的母本。

      元代朱世杰這兩部杰出的數(shù)學(xué)著作都是在揚(yáng)州完成、刻印的,失傳了幾百年后,它們又被揚(yáng)州學(xué)者發(fā)現(xiàn)、校算、注釋,并在揚(yáng)州重新刻印出版,僅此可見,揚(yáng)州在我國數(shù)學(xué)發(fā)展史上有著十分重要的地位。

    數(shù)的發(fā)展史

    1 中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展

    在古代世界四大文明中,中國數(shù)學(xué)持續(xù)繁榮時(shí)期最為長久。從公元前后至公元14世紀(jì),中國古典數(shù)學(xué)先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮,即兩漢時(shí)期、魏晉南北朝時(shí)期和宋元時(shí)期,并在宋元時(shí)期達(dá)到頂峰。

    與以證明定理為中心的希臘古典數(shù)學(xué)不同,中國古代數(shù)學(xué)是以創(chuàng)造算法特別是各種解方程的算法為主線。從線性方程組到高次多項(xiàng)式方程,乃至不定方程,中國古代數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了一系列先進(jìn)的算法(中國數(shù)學(xué)家稱之為“術(shù)”),他們用這些算法去求解相應(yīng)類型的代數(shù)方程,從而解決導(dǎo)致這些方程的各種各樣的科學(xué)和實(shí)際問題。特別是,幾何問題也歸結(jié)為代數(shù)方程,然后用程式化的算法來求解。因此,中國古代數(shù)學(xué)具有明顯的算法化、機(jī)械化的特征。以下?lián)褚e例說明中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的這種特征。

    1.1 線性方程組與“方程術(shù)”

    中國古代最重要的數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》(約公元前2世紀(jì))卷8的“方程術(shù)”,是解線性方程組的算法。以該卷第1題為例,用現(xiàn)代符號表述,該問題相當(dāng)于解一個(gè)三元一次方程組:

    3x+2y+z=39

    2x+3y+z=34

    x+2y+3z=26

    《九章》沒有表示未知數(shù)的符號,而是用算籌將x?y?z的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排列成一個(gè)(長)方陣:

    1 2 3

    2 3 2

    3 1 1

    26 34 39

    “方程術(shù)”的關(guān)鍵算法叫“遍乘直除”,在本例中演算程序如下:用右行(x)的系數(shù)(3)“遍乘”中行和左行各數(shù),然后從所得結(jié)果按行分別“直除”右行,即連續(xù)減去右行對應(yīng)各數(shù),就將中行與左行的系數(shù)化為0。反復(fù)執(zhí)行這種“遍乘直除”算法,就可以解出方程。很清楚,《九章算術(shù)》方程術(shù)的“遍乘直除” 算法,實(shí)質(zhì)上就是我們今天所使用的解線性方程組的消元法,以往西方文獻(xiàn)中稱之為“高斯消去法”,但近年開始改變稱謂,如法國科學(xué)院院士、原蘇黎世大學(xué)數(shù)學(xué)系主任P.Gabriel教授在他撰寫的教科書[4]中就稱解線性方程組的消元法為“張蒼法”,張蒼相傳是《九章算術(shù)》的作者之一。

    1.2 高次多項(xiàng)式方程與“正負(fù)開方術(shù)”

    《九章算術(shù)》卷4中有“開方術(shù)”和“開立方術(shù)”?!毒耪滤阈g(shù)》中的這些算法后來逐步推廣到開更高次方的情形,并且在宋元時(shí)代發(fā)展為一般高次多項(xiàng)式方程的數(shù)值求解。秦九韶是這方面的集大成者,他在《數(shù)書九章》(1247年)一書中給出了高次多項(xiàng)式方程數(shù)值解的完整算法,即他所稱的“正負(fù)開方術(shù)”。

    用現(xiàn)代符號表達(dá),秦九韶“正負(fù)開方術(shù)”的思路如下:對任意給定的方程

    f(x)=a0xn+a1xn-1+……+an-2x2+an-1x+an=0 (1)

    其中a0≠0,an<0,要求(1)式的一個(gè)正根。秦九韶先估計(jì)根的最高位數(shù)字,連同其位數(shù)一起稱為“首商”,記作c,則根x=c+h,代入(1)得

    f(c+h)=a0(c+h)n+a1(c+h)n-1+……+an-1(c+h)+an=0

    按h的冪次合并同類項(xiàng)即得到關(guān)于h的方程:

    f(h)=a0hn+a1hn-1+……+an-1h+an=0 (2)

    于是又可估計(jì)滿足新方程(2)的根的最高位數(shù)字。如此進(jìn)行下去,若得到某個(gè)新方程的常數(shù)項(xiàng)為0,則求得的根是有理數(shù);否則上述過程可繼續(xù)下去,按所需精度求得根的近似值。

    如果從原方程(1)的系數(shù)a0,a1,…,an及估值c求出新方程(2)的系數(shù)a0,a1,…,an的算法是需要反復(fù)迭代使用的,秦九韶給出了一個(gè)規(guī)格化的程序,我們可稱之為“秦九韶程序”, 他在《數(shù)書九章》中用這一算法去解決各種可以歸結(jié)為代數(shù)方程的實(shí)際問題,其中涉及的方程最高次數(shù)達(dá)到10次,秦九韶解這些問題的算法整齊劃一,步驟分明,堪稱是中國古代數(shù)學(xué)算法化、機(jī)械化的典范。

    1.3 多元高次方程組與“四元術(shù)”

    絕不是所有的問題都可以歸結(jié)為線性方程組或一個(gè)未知量的多項(xiàng)式方程來求解。實(shí)際上,可以說更大量的實(shí)際問題如果能化為代數(shù)方程求解的話,出現(xiàn)的將是含有多個(gè)未知量的高次方程組。

    多元高次方程組的求解即使在今天也絕非易事。歷史上最早對多元高次方程組作出系統(tǒng)處理的是中國元代數(shù)學(xué)家朱世杰。朱世杰的《四元玉鑒》(1303年)一書中涉及的高次方程達(dá)到了4個(gè)未知數(shù)。朱世杰用“四元術(shù)”來解這些方程。“四元術(shù)”首先是以“天”、“地”、“人”、“物”來表示不同的未知數(shù),同時(shí)建立起方程式,然后用順序消元的一般方法解出方程。朱世杰在《四元玉鑒》中創(chuàng)造了多種消元程序。

    通過《四元玉鑒》中的具體例子可以清晰地了解朱世杰“四元術(shù)”的特征。值得注意的是,這些例子中相當(dāng)一部分是由幾何問題導(dǎo)出的。這種將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程并用某種統(tǒng)一的算法求解的例子,在宋元數(shù)學(xué)著作中比比皆是,充分反映了中國古代幾何代數(shù)化和機(jī)械化的傾向。

    1.4 一次同余方程組與“中國剩余定理”

    中國古代數(shù)學(xué)家出于歷法計(jì)算的需要,很早就開始研究形如:

    X≡Ri (mod ai) i=1,2,...,n (1)

    (其中ai 是兩兩互素的整數(shù))的一次同余方程組求解問題。公元4世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》中已有相當(dāng)于求解下列一次同余組的著名的“孫子問題”:

    X≡2(mod3) ≡3(mod5) ≡2(mod7)

    《孫子算經(jīng)》作者給出的解法,引導(dǎo)了宋代秦九韶求解一次同余組的一般算法——“大衍求一術(shù)”?,F(xiàn)代文獻(xiàn)中通常把這種一般算法稱為“中國剩余定理”。

    1.5 插值法與“招差術(shù)”

    插值算法在微積分的醞釀過程中扮演了重要角色。在中國,早從東漢時(shí)期起,學(xué)者們就慣用插值法來推算日月五星的運(yùn)動(dòng)。起初是簡單的一次內(nèi)插法,隋唐時(shí)期出現(xiàn)二次插值法(如一行《大衍歷》,727年)。由于天體運(yùn)動(dòng)的加速度也不均勻,二次插值仍不夠精密。隨著歷法的進(jìn)步,到了宋元時(shí)代,便產(chǎn)生了三次內(nèi)插法(郭守敬《授時(shí)歷》,1280年)。在此基礎(chǔ)上,數(shù)學(xué)家朱世杰更創(chuàng)造出一般高次內(nèi)插公式,即他所說的“招差術(shù)”。 朱世杰的公式相當(dāng)于

    f(n)=n△+ n(n?1)△2+ n(n?1)(n?2)△3

    + n(n?1)(n?2)(n?3)△4+……

    這是一項(xiàng)很突出的成就。

    這里不可能一一列舉中國古代數(shù)學(xué)家的所有算法,但僅從以上介紹不難看到,古代與中世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的算法,有許多即使按現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)衡量也達(dá)到了很高的水平。這些算法所表達(dá)的數(shù)學(xué)真理,有的在歐洲直到18世紀(jì)以后依賴近代數(shù)學(xué)工具才重新獲得(如前面提到的高次代數(shù)方程數(shù)值求解的秦九韶程序,與1819年英國數(shù)學(xué)家W. 霍納重新導(dǎo)出的“霍納算法”基本一致;多元高次方程組的系統(tǒng)研究在歐洲也要到18世紀(jì)末才開始在E. 別朱等人的著作中出現(xiàn);解一次同余組的剩余定理則由歐拉與高斯分別獨(dú)立重新獲得;至于朱世杰的高次內(nèi)插公式,實(shí)質(zhì)上已與現(xiàn)在通用的牛頓-格列高里公式相一致)。這些算法的結(jié)構(gòu),其復(fù)雜程度也是驚人的。如對秦九韶“大衍求一術(shù)”和“正負(fù)開方術(shù)”的分析表明,這些算法的計(jì)算程序,包含了現(xiàn)代計(jì)算機(jī)語言中構(gòu)造非平易算法的基本要素與基本結(jié)構(gòu)。這類復(fù)雜的算法,很難再僅僅被看作是簡單的經(jīng)驗(yàn)法則了,而是高度的概括思維能力的產(chǎn)物,這種能力與歐幾里得幾何的演繹思維風(fēng)格截然不同,但卻在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著完全可與之相媲美的作用。事實(shí)上,古代中國算法的繁榮,同時(shí)也孕育了一系列極其重要的概念,顯示了算法化思維在數(shù)學(xué)進(jìn)化中的創(chuàng)造意義和動(dòng)力功能。以下亦舉幾例。

    1.6 負(fù)數(shù)的引進(jìn)

    《九章算術(shù)》“方程術(shù)”的消元程序,在方程系數(shù)相減時(shí)會(huì)出現(xiàn)較小數(shù)減較大數(shù)的情況,正是在這里,《九章算術(shù)》的作者們引進(jìn)了負(fù)數(shù),并給出了正、負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則,即“正負(fù)術(shù)”。

    對負(fù)數(shù)的認(rèn)識是人類數(shù)系擴(kuò)充的重大步驟。公元7世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家也開始使用負(fù)數(shù),但負(fù)數(shù)的認(rèn)識在歐洲卻進(jìn)展緩慢,甚至到16世紀(jì),韋達(dá)的著作還回避負(fù)數(shù)。

    1.7 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)

    中國古代數(shù)學(xué)家在開方運(yùn)算中接觸到了無理數(shù)?!毒耪滤阈g(shù)》開方術(shù)中指出了存在有開不盡的情形:“若開方不盡者,為不可開”,《九章算術(shù)》的作者們給這種不盡根數(shù)起了一個(gè)專門名詞——“面”?!懊妗?,就是無理數(shù)。與古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)正方形的對角線不是有理數(shù)時(shí)驚慌失措的表現(xiàn)相比,中國古代數(shù)學(xué)家卻是相對自然地接受了那些“開不盡”的無理數(shù),這也許應(yīng)歸功于他們早就習(xí)慣使用的十進(jìn)位制,這種十進(jìn)位制使他們能夠有效地計(jì)算“不盡根數(shù)”的近似值。為《九章算術(shù)》作注的三國時(shí)代數(shù)學(xué)家劉徽就在“開方術(shù)”注中明確提出了用十進(jìn)制小數(shù)任意逼近不盡根數(shù)的方法,他稱之為“求微數(shù)法”,并指出在開方過程中,“其一退以十為步,其再退以百為步,退之彌下,其分彌細(xì),則……雖有所棄之?dāng)?shù),不足言之也”。

    十進(jìn)位值記數(shù)制是對人類文明不可磨滅的貢獻(xiàn)。法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾盛贊十進(jìn)位值制的發(fā)明,認(rèn)為它“使得我們的算術(shù)系統(tǒng)在所有有用的創(chuàng)造中成為第一流的”。中國古代數(shù)學(xué)家正是在嚴(yán)格遵循十進(jìn)位制的籌算系統(tǒng)基礎(chǔ)上,建立起了富有算法化特色的東方數(shù)學(xué)大廈。

    1.8 賈憲三角或楊輝三角

    從前面關(guān)于高次方程數(shù)值求解算法(秦九韶程序)的介紹我們可以看到,中國古代開方術(shù)是以?c+h n的二項(xiàng)展開為基礎(chǔ)的,這就引導(dǎo)了二項(xiàng)系數(shù)表的發(fā)現(xiàn)。南宋數(shù)學(xué)家楊輝著《詳解九章算法》(1261年)中,載有一張所謂“開方作法本源圖”,實(shí)際就是一張二項(xiàng)系數(shù)表。這張圖摘自公元1050年左右北宋數(shù)學(xué)家賈憲的一部著作?!伴_方作法本源圖”現(xiàn)在就叫“賈憲三角”或“楊輝三角”。二項(xiàng)系數(shù)表在西方則叫“帕斯卡三角”?1654年 。

    1.9 走向符號代數(shù)

    解方程的數(shù)學(xué)活動(dòng),必然引起人們對方程表達(dá)形式的思考。在這方面,以解方程擅長的中國古代數(shù)學(xué)家們很自然也是走在了前列。在宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)著作中,已出現(xiàn)了用特定的漢字作為未知數(shù)符號并進(jìn)而建立方程的系統(tǒng)努力。這就是以李冶為代表的“天元術(shù)”和以朱世杰為代表的“四元術(shù)”。所謂“天元術(shù)”,首先是“立天元一為某某”,這相當(dāng)于“設(shè)為某某”,“天元一”就表示未知數(shù),然后在籌算盤上布列“天元式”,即一元方程式。該方法被推廣到多個(gè)未知數(shù)情形,就是前面提到的朱世杰的“四元術(shù)”。因此,用天元術(shù)和四元術(shù)列方程的方法,與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法已相類似。

    符號化是近世代數(shù)的標(biāo)志之一。中國宋元數(shù)學(xué)家在這方面邁出了重要一步,“天元術(shù)”和“四元術(shù)”,是以創(chuàng)造算法特別是解方程的算法為主線的中國古代數(shù)學(xué)的一個(gè)高峰?。

    2 中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)

    數(shù)學(xué)的發(fā)展包括了兩大主要活動(dòng):證明定理和創(chuàng)造算法。定理證明是希臘人首倡,后構(gòu)成數(shù)學(xué)發(fā)展中演繹傾向的脊梁;算法創(chuàng)造昌盛于古代和中世紀(jì)的中國、印度,形成了數(shù)學(xué)發(fā)展中強(qiáng)烈的算法傾向。統(tǒng)觀數(shù)學(xué)的歷史將會(huì)發(fā)現(xiàn),數(shù)學(xué)的發(fā)展并非總是演繹傾向獨(dú)占鰲頭。在數(shù)學(xué)史上,算法傾向與演繹傾向總是交替地取得主導(dǎo)地位。古代巴比倫和埃及式的原始算法時(shí)期,被希臘式的演繹幾何所接替,而在中世紀(jì),希臘數(shù)學(xué)衰落下去,算法傾向在中國、印度等東方國度繁榮起來;東方數(shù)學(xué)在文藝復(fù)興前夕通過阿拉伯傳播到歐洲,對近代數(shù)學(xué)興起產(chǎn)生了深刻影響。事實(shí)上,作為近代數(shù)學(xué)誕生標(biāo)志的解析幾何與微積分,從思想方法的淵源看都不能說是演繹傾向而是算法傾向的產(chǎn)物。

    從微積分的歷史可以知道,微積分的產(chǎn)生是尋找解決一系列實(shí)際問題的普遍算法的結(jié)果?6?。這些問題包括:決定物體的瞬時(shí)速度、求極大值與極小值、求曲線的切線、求物體的重心及引力、面積與體積計(jì)算等。從16世紀(jì)中開始的100多年間,許多大數(shù)學(xué)家都致力于獲得解決這些問題的特殊算法。牛頓與萊布尼茲的功績是在于將這些特殊的算法統(tǒng)一成兩類基本運(yùn)算——微分與積分,并進(jìn)一步指出了它們的互逆關(guān)系。無論是牛頓的先驅(qū)者還是牛頓本人,他們所使用的算法都是不嚴(yán)格的,都沒有完整的演繹推導(dǎo)。牛頓的流數(shù)術(shù)在邏輯上的瑕疵更是眾所周知。對當(dāng)時(shí)的學(xué)者來說,首要的是找到行之有效的算法,而不是算法的證明。這種傾向一直延續(xù)到18世紀(jì)。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家也往往不管微積分基礎(chǔ)的困難而大膽前進(jìn)。如泰勒公式,歐拉、伯努利甚至19世紀(jì)初傅里葉所發(fā)現(xiàn)的三角展開等,都是在很長時(shí)期內(nèi)缺乏嚴(yán)格的證明。正如馮·諾伊曼指出的那樣:沒有一個(gè)數(shù)學(xué)家會(huì)把這一時(shí)期的發(fā)展看作是異端邪道;這個(gè)時(shí)期產(chǎn)生的數(shù)學(xué)成果被公認(rèn)為第一流的。并且反過來,如果當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家一定要在有了嚴(yán)密的演繹證明之后才承認(rèn)新算法的合理性,那就不會(huì)有今天的微積分和整個(gè)分析大廈了。

    現(xiàn)在再來看一看更早的解析幾何的誕生。通常認(rèn)為,笛卡兒發(fā)明解析幾何的基本思想,是用代數(shù)方法來解幾何問題。這同歐氏演繹方法已經(jīng)大相徑庭了。而事實(shí)上如果我們?nèi)ラ喿x笛卡兒的原著,就會(huì)發(fā)現(xiàn)貫穿于其中的徹底的算法精神?!稁缀螌W(xué)》開宗明義就宣稱:“我將毫不猶豫地在幾何學(xué)中引進(jìn)算術(shù)的術(shù)語,以便使自己變得更加聰明”。眾所周知,笛卡兒的《幾何學(xué)》是他的哲學(xué)著作《方法論》的附錄。笛卡兒在他另一部生前未正式發(fā)表的哲學(xué)著作《指導(dǎo)思維的法則》(簡稱《法則》)中曾強(qiáng)烈批判了傳統(tǒng)的主要是希臘的研究方法,認(rèn)為古希臘人的演繹推理只能用來證明已經(jīng)知道的事物,“卻不能幫助我們發(fā)現(xiàn)未知的事情”。因此他提出“需要一種發(fā)現(xiàn)真理的方法”,并稱之為“通用數(shù)學(xué)”(mathesis universakis)。笛卡兒在《法則》中描述了這種通用數(shù)學(xué)的藍(lán)圖,他提出的大膽計(jì)劃,概而言之就是要將一切科學(xué)問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程的數(shù)學(xué)問題:

    任何問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程求解而笛卡兒的《幾何學(xué)》,正是他上述方案的一個(gè)具體實(shí)施和示范,解析幾何在整個(gè)方案中扮演著重要的工具作用,它將一切幾何問題化為代數(shù)問題,這些代數(shù)問題則可以用一種簡單的、幾乎自動(dòng)的或者毋寧說是機(jī)械的方法去解決。這與上面介紹的古代中國數(shù)學(xué)家解決問題的路線可以說是一脈相承。

    因此我們完全有理由說,在從文藝復(fù)興到17世紀(jì)近代數(shù)學(xué)興起的大潮中,回響著東方數(shù)學(xué)特別是中國數(shù)學(xué)的韻律。整個(gè)17—18世紀(jì)應(yīng)該看成是尋求無窮小算法的英雄年代,盡管這一時(shí)期的無窮小算法與中世紀(jì)算法相比有質(zhì)的飛躍。而從19世紀(jì)特別是70年代直到20世紀(jì)中,演繹傾向又重新在比希臘幾何高得多的水準(zhǔn)上占據(jù)了優(yōu)勢。因此,數(shù)學(xué)的發(fā)展呈現(xiàn)出算法創(chuàng)造與演繹證明兩大主流交替繁榮、螺旋式上升過程:

    演繹傳統(tǒng)——定理證明活動(dòng)

    算法傳統(tǒng)——算法創(chuàng)造活動(dòng)

    中國古代數(shù)學(xué)家對算法傳統(tǒng)的形成與發(fā)展做出了毋容置疑的巨大貢獻(xiàn)。

    我們強(qiáng)調(diào)中國古代數(shù)學(xué)的算法傳統(tǒng),并不意味中國古代數(shù)學(xué)中沒有演繹傾向。事實(shí)上,在魏晉南北朝時(shí)期一些數(shù)學(xué)家的工作中,已出現(xiàn)具有相當(dāng)深度的論證思想。如趙爽勾股定理證明、劉徽“陽馬”?一種長方錐體 體積證明、祖沖之父子對球體積公式的推導(dǎo)等等,均可與古希臘數(shù)學(xué)家相應(yīng)的工作媲美。趙爽勾股定理證明示意圖“弦圖”原型,已被采用作2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)。令人迷惑的是,這種論證傾向隨著南北朝的結(jié)束,可以說是戛然而止。囿于篇幅和本文重點(diǎn),對這方面的內(nèi)容這里不能詳述,有興趣的讀者可參閱參考文獻(xiàn)?3?。

    3 古為今用,創(chuàng)新發(fā)展

    到了20世紀(jì),至少從中葉開始,電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)對數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來了深遠(yuǎn)影響,并孕育出孤立子理論、混沌動(dòng)力學(xué)、四色定理證明等一系列令人矚目的成就。借助計(jì)算機(jī)及有效的算法猜測發(fā)現(xiàn)新事實(shí)、歸納證明新定理乃至進(jìn)行更一般的自動(dòng)推理……,這一切可以說已揭開了數(shù)學(xué)史上一個(gè)新的算法繁榮時(shí)代的偉大序幕??茖W(xué)界敏銳的有識之士紛紛預(yù)見到數(shù)學(xué)發(fā)展的這一趨勢。在我國,早在上世紀(jì)50年代,華羅庚教授就親自領(lǐng)導(dǎo)建立了計(jì)算機(jī)研制組,為我國計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。吳文俊教授更是從70年代中開始,毅然由原先從事的拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域轉(zhuǎn)向定理機(jī)器證明的研究,并開創(chuàng)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的嶄新領(lǐng)域——數(shù)學(xué)機(jī)械化。被國際上譽(yù)為“吳方法”的數(shù)學(xué)機(jī)械化方法已使中國在數(shù)學(xué)機(jī)械化領(lǐng)域處于國際領(lǐng)先地位,而正如吳文俊教授本人所說:“幾何定理證明的機(jī)械化問題,從思維到方法,至少在宋元時(shí)代就有蛛絲馬跡可尋,”他的工作“主要是受中國古代數(shù)學(xué)的啟發(fā)”?!皡欠椒ā保侵袊糯鷶?shù)學(xué)算法化、機(jī)械化精髓的發(fā)揚(yáng)光大。

    計(jì)算機(jī)影響下算法傾向的增長,自然也引起一些外國學(xué)者對中國古代數(shù)學(xué)中算法傳統(tǒng)的興趣。早在上世紀(jì)70年代初,著名的計(jì)算機(jī)科學(xué)家D.E.Knuth就呼吁人們關(guān)注古代中國和印度的算法?5?。多年來這方面的研究取得了一定進(jìn)展,但總的來說還亟待加強(qiáng)。眾所周知,中國古代文化包括數(shù)學(xué)是通過著名的絲綢之路向西方傳播的,而阿拉伯地區(qū)是這種文化傳播的重要中轉(zhuǎn)站?,F(xiàn)存有些阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)與天文著作中包含有一定的中國數(shù)學(xué)與天文學(xué)知識,如著名的阿爾·卡西《算術(shù)之鑰》一書中有相當(dāng)數(shù)量的數(shù)學(xué)問題顯示出直接或間接的中國來源,而根據(jù)阿爾·卡西本人記述,他所工作的天文臺(tái)中就有不少來自中國的學(xué)者。

    然而長期以來由于“西方中心論”特別是“希臘中心論”的影響以及語言文字方面的障礙,有關(guān)資料還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有得到發(fā)掘。正是為了充分揭示東方數(shù)學(xué)與歐洲數(shù)學(xué)復(fù)興的關(guān)系,吳文俊教授特意從他榮獲的國家最高科學(xué)獎(jiǎng)中撥出??畛闪⒘恕皡俏目?shù)學(xué)與天文絲路基金”,鼓勵(lì)支持年輕學(xué)者深入開展這方面的研究,這是具有深遠(yuǎn)意義之舉。

    研究科學(xué)的歷史,其重要意義之一就是從歷史的發(fā)展中獲得借鑒和汲取教益,促進(jìn)現(xiàn)實(shí)的科學(xué)研究,通俗地說就是“古為今用”。吳文俊對此有精辟的論述,他說:“假如你對數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展,對一個(gè)領(lǐng)域的發(fā)生和發(fā)展,對一個(gè)理論的興旺和衰落,對一個(gè)概念的來龍去脈,對一種重要思想的產(chǎn)生和影響等這許多歷史因素都弄清了,我想,對數(shù)學(xué)就會(huì)了解得更多,對數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀就會(huì)知道得更清楚、更深刻,還可以對數(shù)學(xué)的未來起一種指導(dǎo)作用,也就是說,可以知道數(shù)學(xué)究竟應(yīng)該按怎樣的方向發(fā)展可以收到最大的效益”。數(shù)學(xué)機(jī)械化理論的創(chuàng)立,正是這種古為今用原則的碩果。我國科學(xué)技術(shù)的偉大復(fù)興,呼喚著更多這樣既有濃郁的中國特色、又有鮮明時(shí)代氣息的創(chuàng)新。

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