為什么說《重差算法》是多項(xiàng)式方程求解的寶典？

為什么說《重差算法》是多項(xiàng)式方程求解的寶典

在古代數(shù)學(xué)的輝煌殿堂中，《重差算法》猶如一顆璀璨的明珠，它不僅是多項(xiàng)式方程求解方法的集大成者，更是古代數(shù)學(xué)家們智慧的結(jié)晶。今天，就讓我們一起揭開這部古典算法的神秘面紗，探尋其中蘊(yùn)含的深邃數(shù)學(xué)原理和古人的非凡智慧。

《重差算法》作為古代數(shù)學(xué)的重要典籍，對于多項(xiàng)式方程的求解方法有著獨(dú)到的見解和精湛的技藝。在那個(gè)時(shí)代，沒有現(xiàn)代的計(jì)算器和計(jì)算機(jī)，數(shù)學(xué)家們憑借著紙筆和堅(jiān)韌不拔的精神，一步步推導(dǎo)出了這些精妙的算法。

一開篇，我們不得不提的是《重差算法》中對于多項(xiàng)式方程的基本分類。古代數(shù)學(xué)家們將多項(xiàng)式方程根據(jù)次數(shù)和形式的不同，進(jìn)行了細(xì)致的劃分。這種分類不僅有助于更系統(tǒng)地理解各類方程的性質(zhì)，還為后續(xù)的求解過程奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

接下來，書中詳細(xì)介紹了如何通過“消元法”和“代入法”等技巧來簡化復(fù)雜的方程。這些方法雖然在今天看來是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，但在那個(gè)時(shí)代，卻是數(shù)學(xué)家們經(jīng)過無數(shù)次的試錯(cuò)和總結(jié)才得以形成。每一種方法背后，都隱藏著數(shù)學(xué)家們對數(shù)字的深刻理解和不懈追求。

在《重差算法》中，對于高次方程的求解尤為引人注目。古代數(shù)學(xué)家們巧妙地利用了多項(xiàng)式的性質(zhì)，通過因式分解、配方等手法，將復(fù)雜的高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程或更易求解的形式。這種化繁為簡的思想，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家們的智慧，也為后來的數(shù)學(xué)發(fā)展提供了重要的啟示。

除了具體的求解方法，《重差算法》還深入探討了多項(xiàng)式方程解的存在性和唯一性問題。在古代，這些問題無疑是極具挑戰(zhàn)性的。然而，通過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砗途畹臄?shù)學(xué)構(gòu)造，數(shù)學(xué)家們不僅證明了某些特定條件下解的存在性和唯一性，還進(jìn)一步揭示了多項(xiàng)式方程解的內(nèi)在規(guī)律?！吨夭钏惴ā分械那蠼夥椒ú⒎枪铝⒋嬖?，而是與當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)文化和哲學(xué)思想緊密相連。例如，在求解過程中，數(shù)學(xué)家們常常運(yùn)用“天人合一”的哲學(xué)觀念，將自然界的和諧與數(shù)學(xué)中的平衡相類比，從而更深刻地理解方程解的本質(zhì)。

《重差算法》對其求解方法不僅被應(yīng)用于幾何、天文等領(lǐng)域，還為后來的代數(shù)學(xué)、分析學(xué)等數(shù)學(xué)分支的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。《重差算法》不僅是多項(xiàng)式方程求解的寶典，更是古代數(shù)學(xué)發(fā)展的里程碑。古代數(shù)學(xué)家們用簡潔明了的語言，闡述了多項(xiàng)式方程求解的精髓，不僅為當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)問題提供了解決方案，更為后世的數(shù)學(xué)研究留下了寶貴的財(cái)富。

在今天這個(gè)數(shù)字化高速發(fā)展的時(shí)代，我們或許已經(jīng)習(xí)慣了使用計(jì)算機(jī)來輕松解決各種數(shù)學(xué)問題。然而，《重差算法》提醒我們，數(shù)學(xué)的本質(zhì)不僅僅在于求解問題，更在于探索問題背后的邏輯和美感。因此，不妨在忙碌的現(xiàn)代生活中，靜下心來品味這份來自古代的數(shù)學(xué)智慧，感受數(shù)學(xué)家們對于真理的不懈追求和對于美的獨(dú)特詮釋。

《重差算法》作為古代多項(xiàng)式方程求解的瑰寶，不僅展示了數(shù)學(xué)家們的超凡智慧，也為后世的數(shù)學(xué)發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。在今天這個(gè)數(shù)字化時(shí)代，我們更應(yīng)該珍視這份來自古代的寶貴遺產(chǎn)，從中汲取智慧，感受數(shù)學(xué)之美。

數(shù)學(xué)分析的發(fā)展史

一、中國數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展

據(jù)《易·系辭》記載：「上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書契」。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數(shù)的文字。從一到十，及百、千、萬是專用的記數(shù)文字，共有13個(gè)獨(dú)立符號，記數(shù)用合文書寫，其中有十進(jìn)制制的記數(shù)法，出現(xiàn)最大的數(shù)字為三萬。

算籌是中國古代的計(jì)算工具，而這種計(jì)算方法稱為籌算。算籌的產(chǎn)生年代已不可考，但可以肯定的是籌算在春秋時(shí)代已很普遍。

用算籌記數(shù)，有縱、橫兩種方式：

表示一個(gè)多位數(shù)字時(shí)，采用十進(jìn)位值制，各位值的數(shù)目從左到右排列，縱橫相間〔法則是：一縱十橫，百立千僵，千、十相望，萬、百相當(dāng)〕，并以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運(yùn)算建立起良好的條件。

籌算直到十五世紀(jì)元朝末年才逐漸為珠算所取代，中國古代數(shù)學(xué)就是在籌算的基礎(chǔ)上取得其輝煌成就的。

在幾何學(xué)方面《史記·夏本記》中說夏禹治水時(shí)已使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測量工具，并早已發(fā)現(xiàn)「勾三股四弦五」這個(gè)勾股定理〔西方稱勾股定理〕的特例。戰(zhàn)國時(shí)期，齊國人著的《考工記》匯總了當(dāng)時(shí)手工業(yè)技術(shù)的規(guī)范，包含了一些測量的內(nèi)容，并涉及到一些幾何知識，例如角的概念。

戰(zhàn)國時(shí)期的百家爭鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，一些學(xué)派還總結(jié)和概括出與數(shù)學(xué)有關(guān)的許多抽象概念。著名的有《墨經(jīng)》中關(guān)于某些幾何名詞的定義和命題，例如：「圓，一中同長也」、「平，同高也」等等。墨家還給出有窮和無窮的定義?！?a href="/ddjy_100/224.html">莊子》記載了惠施等人的名家學(xué)說和桓團(tuán)、公孫龍等辯者提出的論題，強(qiáng)調(diào)抽象的數(shù)學(xué)思想，例如「至大無外謂之大一，至小無內(nèi)謂之小一」、「一尺之棰，日取其半，萬世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其它數(shù)學(xué)命題是相當(dāng)可貴的數(shù)學(xué)思想，但這種重視抽象性和邏輯嚴(yán)密性的新思想未能得到很好的繼承和發(fā)展。

此外，講述陰陽八卦，預(yù)言吉兇的《易經(jīng)》已有了組合數(shù)學(xué)的萌芽，并反映出二進(jìn)制的思想。

二、中國數(shù)學(xué)體系的形成與奠基

這一時(shí)期包括從秦漢、魏晉、南北朝，共400年間的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史。秦漢是中國古代數(shù)學(xué)體系的形成時(shí)期，為使不斷豐富的數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)化、理論化，數(shù)學(xué)方面的專書陸續(xù)出現(xiàn)。

現(xiàn)傳中國歷史最早的數(shù)學(xué)專著是1984年在湖北江陵張家山出土的成書于西漢初的漢簡《算數(shù)書》，與其同時(shí)出土的一本漢簡歷譜所記乃呂后二年（公元前186年），所以該書的成書年代至晚是公元前186年（應(yīng)該在此前）。

西漢末年〔公元前一世紀(jì)〕編纂的《周髀算經(jīng)》，盡管是談?wù)撋w天說宇宙論的天文學(xué)著作，但包含許多數(shù)學(xué)內(nèi)容，在數(shù)學(xué)方面主要有兩項(xiàng)成就：(1)提出勾股定理的特例及普遍形式；(2)測太陽高、遠(yuǎn)的陳子測日法，為后來重差術(shù)（勾股測量法）的先驅(qū)。此外，還有較復(fù)雜的開方問題和分?jǐn)?shù)運(yùn)算等。

《九章算術(shù)》是一部經(jīng)幾代人整理、刪補(bǔ)和修訂而成的古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作，約成書于東漢初年〔公元前一世紀(jì)〕。全書采用問題集的形式編寫，共收集了246個(gè)問題及其解法，分屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、各種面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測量的計(jì)算等。在代數(shù)方面，《方程》章中所引入的負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則，在世界數(shù)學(xué)史上都是最早的記載；書中關(guān)于線性方程組的解法和現(xiàn)在中學(xué)講授的方法基本相同。就《九章算術(shù)》的特點(diǎn)來說，它注重應(yīng)用，注重理論聯(lián)系實(shí)際，形成了以籌算為中心的數(shù)學(xué)體系，對中國古算影響深遠(yuǎn)。它的一些成就如十進(jìn)制值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過這些國家傳到歐洲，促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。

魏晉時(shí)期中國數(shù)學(xué)在理論上有了較大的發(fā)展。其中趙爽（生卒年代不詳）和劉徽（生卒年代不詳）的工作被認(rèn)為是中國古代數(shù)學(xué)理論體系的開端。三國吳人趙爽是中國古代對數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明的最早的數(shù)學(xué)家之一，對《周髀算經(jīng)》做了詳盡的注釋,在《勾股圓方圖注》中用幾何方法嚴(yán)格證明了勾股定理，他的方法已體現(xiàn)了割補(bǔ)原理的思想。趙爽還提出了用幾何方法求解二次方程的新方法。263年，三國魏人劉徽注釋《九章算術(shù)》，在《九章算術(shù)注》中不僅對原書的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，系統(tǒng)地闡述了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理，而且在其論述中多有創(chuàng)造，在卷1《方田》中創(chuàng)立割圓術(shù)（即用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積的辦法），為圓周率的研究工作奠定理論基礎(chǔ)和提供了科學(xué)的算法，他運(yùn)用“割圓術(shù)”得出圓周率的近似值為3927/1250（即3.1416）；在《商功》章中，為解決球體積公式的問題而構(gòu)造了“牟合方蓋”的幾何模型，為祖暅獲得正確結(jié)果開辟了道路；為建立多面體體積理論，運(yùn)用極限方法成功地證明了陽馬術(shù)；他還撰著《海島算經(jīng)》，發(fā)揚(yáng)了古代勾股測量術(shù)----重差術(shù)。

南北朝時(shí)期的社會(huì)長期處于戰(zhàn)爭和分裂狀態(tài)，但數(shù)學(xué)的發(fā)展依然蓬勃。出現(xiàn)了《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》等算學(xué)著作。約于公元四-五世紀(jì)成書的《孫子算經(jīng)》給出「物不知數(shù)」問題并作了解答，導(dǎo)致求解一次同余組問題在中國的濫暢；《張丘建算經(jīng)》的「百雞問題」引出三個(gè)未知數(shù)的不定方程組問題。

公元五世紀(jì)，祖沖之、祖暅父子的工作在這一時(shí)期最具代表性，他們在《九章算術(shù)》劉徽注的基礎(chǔ)上，將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步，成為重視數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理的典范。他們同時(shí)在天文學(xué)上也有突出的貢獻(xiàn)。其著作《綴術(shù)》已失傳，根據(jù)史料記載，他們在數(shù)學(xué)上主要有三項(xiàng)成就：(1)計(jì)算圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第六位，得到3.1415926 <π< 3.1415927，并求得π的約率為22/7，密率為355/113，其中密率是分子分母在1000以內(nèi)的最佳值，歐洲直到十六世紀(jì)德國人鄂圖（valentinus otto）和荷蘭人安托尼茲（a.anthonisz)才得出同樣結(jié)果；(2)祖暅在劉徽工作的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出球體體積的正確公式，并提出"冪勢既同則積不容異"的體積原理，即二立體等高處截面積均相等則二體體積相等的定理。歐洲十七世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利（bonaventura cavalieri）才提出同一定理；(3)發(fā)展了二次與三次方程的解法。

同時(shí)代的天文歷學(xué)家何承天創(chuàng)調(diào)日法，以有理分?jǐn)?shù)逼近實(shí)數(shù)，發(fā)展了古代的不定分析與數(shù)值逼近算法。

三、中國數(shù)學(xué)教育制度的建立

隋朝大興土木，客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通撰《緝古算經(jīng)》，主要是通過土木工程中計(jì)算土方、工程的分工與驗(yàn)收以及倉庫和地窖計(jì)算等實(shí)際問題，討論如何以幾何方式建立三次多項(xiàng)式方程，發(fā)展了《九章算術(shù)》中的少廣、勾股章中開方理論。

隋唐時(shí)期是中國封建官僚制度建立時(shí)期，隨著科舉制度與國子監(jiān)制度的確立，數(shù)學(xué)教育有了長足的發(fā)展。656年國子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，由太史令李淳風(fēng)等人編纂注釋《算經(jīng)十書》〔包括《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》和《綴術(shù)》〕，作為算學(xué)館學(xué)生用的課本。對保存古代數(shù)學(xué)經(jīng)典起了重要的作用。

由于南北朝時(shí)期的一些重大天文發(fā)現(xiàn)在隋唐之交開始落實(shí)到歷法編算中，使唐代歷法中出現(xiàn)一些重要的數(shù)學(xué)成果。公元600年，隋代劉焯在制訂《皇極歷》時(shí)，在世界上最早提出了等間距二次內(nèi)插公式，這在數(shù)學(xué)史上是一項(xiàng)杰出的創(chuàng)造，唐代僧一行在其《大衍歷》中將其發(fā)展為不等間距二次內(nèi)插公式。

唐朝后期，計(jì)算技術(shù)有了進(jìn)一步的改進(jìn)和普及，出現(xiàn)很多種實(shí)用算術(shù)書，對于乘除算法力求簡捷。

四、中國數(shù)學(xué)發(fā)展的高峰

唐朝亡后，五代十國仍是軍閥混戰(zhàn)的繼續(xù)，直到北宋王朝統(tǒng)一了中國，農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)迅速繁榮，科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)。從公元十一世紀(jì)到十四世紀(jì)〔宋、元兩代〕，籌算數(shù)學(xué)達(dá)到極盛，是中國古代數(shù)學(xué)空前繁榮，碩果累累的全盛時(shí)期。這一時(shí)期出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作，列舉如下：賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》〔11世紀(jì)中葉〕，劉益的《議古根源》〔12世紀(jì)中葉〕，秦九韶的《數(shù)書九章》〔1247〕，李冶的《測圓海鏡》〔1248〕和《益古演段》〔1259〕，楊輝的《詳解九章算法》〔1261〕、《日用算法》〔1262〕和《楊輝算法》〔1274-1275〕，朱世杰的《算學(xué)啟蒙》〔1299〕和《四元玉鑒》〔1303〕等等。 宋元數(shù)學(xué)在很多領(lǐng)域都達(dá)到了中國古代數(shù)學(xué)，也是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的巔峰。其中主要的工作有：

公元1050年左右，北宋賈憲（生卒年代不詳）在《黃帝九章算法細(xì)草》中創(chuàng)造了開任意高次冪的“增乘開方法”，公元1819年英國人霍納（william george horner）才得出同樣的方法。賈憲還列出了二項(xiàng)式定理系數(shù)表，歐洲到十七世紀(jì)才出現(xiàn)類似的“巴斯加三角”。（《黃帝九章算法細(xì)草》已佚）

公元1088—1095年間，北宋沈括從“酒家積罌”數(shù)與“層壇”體積等生產(chǎn)實(shí)踐問題提出了“隙積術(shù)”，開始對高階等差級數(shù)的求和進(jìn)行研究，并創(chuàng)立了正確的求和公式。沈括還提出“會(huì)圓術(shù)”，得出了我國古代數(shù)學(xué)史上第一個(gè)求弧長的近似公式。他還運(yùn)用運(yùn)籌思想分析和研究了后勤供糧與運(yùn)兵進(jìn)退的關(guān)系等問題。

公元1247年，南宋秦九韶在《數(shù)書九章》中推廣了增乘開方法，敘述了高次方程的數(shù)值解法，他列舉了二十多個(gè)來自實(shí)踐的高次方程的解法，最高為十次方程。歐洲到十六世紀(jì)意大利人菲爾洛（scipio del ferro）才提出三次方程的解法。秦九韶還系統(tǒng)地研究了一次同余式理論。

公元1248年，李冶（李治，公元1192一1279年）著的《測圓海鏡》是第一部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”（一元高次方程）的著作，這在數(shù)學(xué)史上是一項(xiàng)杰出的成果。在《測圓海鏡?序》中，李冶批判了輕視科學(xué)實(shí)踐，以數(shù)學(xué)為“九九賤技”、“玩物喪志”等謬論。

公元1261年，南宋楊輝（生卒年代不詳）在《詳解九章算法》中用“垛積術(shù)”求出幾類高階等差級數(shù)之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了“九歸捷法”，介紹了籌算乘除的各種運(yùn)算法。公元1280年，元代王恂、郭守敬等制訂《授時(shí)歷》時(shí)，列出了三次差的內(nèi)插公式。郭守敬還運(yùn)用幾何方法求出相當(dāng)于現(xiàn)在球面三角的兩個(gè)公式。

公元1303年，元代朱世杰（生卒年代不詳）著《四元玉鑒》，他把“天元術(shù)”推廣為“四元術(shù)”（四元高次聯(lián)立方程）,并提出消元的解法，歐洲到公元1775年法國人別朱（etienne bezout）才提出同樣的解法。朱世杰還對各有限項(xiàng)級數(shù)求和問題進(jìn)行了研究，在此基礎(chǔ)上得出了高次差的內(nèi)插公式，歐洲到公元1670年英國人格里高利（james gregory)和公元1676一1678年間牛頓（issac newton）才提出內(nèi)插法的一般公式。

公元十四世紀(jì)我國人民已使用珠算盤。在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前，珠算盤是世界上簡便而有效的計(jì)算工具。

五、中國數(shù)學(xué)的衰落與日用數(shù)學(xué)的發(fā)展

這一時(shí)期指十四世紀(jì)中葉明王朝建立到明末的1582年。數(shù)學(xué)除珠算外出現(xiàn)全面衰弱的局面，當(dāng)中涉及到中算的局限、十三世紀(jì)的考試制度中已刪減數(shù)學(xué)內(nèi)容、明代大興八段考試制度等復(fù)雜的問題，不少中外數(shù)學(xué)史家仍探討當(dāng)中涉及的原因。

明代最大的成就是珠算的普及，出現(xiàn)了許多珠算讀本，及至程大位的《直指算法統(tǒng)宗》〔1592〕問世，珠算理論已成系統(tǒng)，標(biāo)志著從籌算到珠算轉(zhuǎn)變的完成。但由于珠算流行，籌算幾乎絕跡，建立在籌算基礎(chǔ)上的古代數(shù)學(xué)也逐漸失傳，數(shù)學(xué)出現(xiàn)長期停滯。

六、西方初等數(shù)學(xué)的傳入與中西合璧

十六世紀(jì)末開始，西方傳教士開始到中國活動(dòng)，由于明清王朝制定天文歷法的需要，傳教士開始將與天文歷算有關(guān)的西方初等數(shù)學(xué)知識傳入中國，中國數(shù)學(xué)家在“西學(xué)中源”思想支配下，數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)了一個(gè)中西融合貫通的局面。

十六世紀(jì)末，西方傳教士和中國學(xué)者合譯了許多西方數(shù)學(xué)專著。其中第一部且有重大影響的是意大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷〔1607〕，其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫的《測量異同》和《勾股義》便應(yīng)用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國的勾股測望術(shù)。此外，《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創(chuàng)，且沿用至今。在輸入的西方數(shù)學(xué)中僅次于幾何的是三角學(xué)。在此之前，三角學(xué)只有零星的知識，而此后獲得迅速發(fā)展。介紹西方三角學(xué)的著作有鄧玉函編譯的《大測》〔2卷，1631〕、《割圓八線表》〔6卷〕和羅雅谷的《測量全義》〔10卷，1631〕。在徐光啟主持編譯的《崇禎歷書》〔137卷，1629-1633〕中，介紹了有關(guān)圓椎曲線的數(shù)學(xué)知識。

入清以后，會(huì)通中西數(shù)學(xué)的杰出代表是梅文鼎，他堅(jiān)信中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)「必有精理」，對古代名著做了深入的研究，同時(shí)又能正確對待西方數(shù)學(xué)，使之在中國扎根，對清代中期數(shù)學(xué)研究的高潮是有積極影響的。與他同時(shí)代的數(shù)學(xué)家還有王錫闡和年希堯等人。 清康熙帝愛好科學(xué)研究，他「御定」的《數(shù)理精蘊(yùn)》〔53卷，1723〕，是一部比較全面的初等數(shù)學(xué)書，對當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)研究有一定影響。

七、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的整理與復(fù)興

乾嘉年間形成一個(gè)以考據(jù)學(xué)為主的干嘉學(xué)派，編成《四庫全書》，其中數(shù)學(xué)著作有《算經(jīng)十書》和宋元時(shí)期的著作，為保存瀕于湮沒的數(shù)學(xué)典籍做出重要貢獻(xiàn)。

在研究傳統(tǒng)數(shù)學(xué)時(shí)，許多數(shù)學(xué)家還有發(fā)明創(chuàng)造，例如有「談天三友」之稱的焦循、汪萊及李銳作出不少重要的工作。李善蘭在《垛積比類》〔約1859〕中得到三角自乘垛求和公式，現(xiàn)在稱之為「李善蘭恒等式」。這些工作較宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)進(jìn)了一步。阮元、李銳等人編寫了一部天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家傳記《疇人傳》46卷〔1795-1810〕，開數(shù)學(xué)史研究之先河。

八、西方數(shù)學(xué)再次東進(jìn)

1840年鴉戰(zhàn)爭后，閉關(guān)鎖國政策被迫中止。同文館內(nèi)添設(shè)「算學(xué)」，上海江南制造局內(nèi)添設(shè)翻譯館，由此開始第二次翻譯引進(jìn)的高潮。主要譯者和著作有：李善蘭與英國傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》后9卷〔1857〕，使中國有了完整的《幾何原本》中譯本；《代數(shù)學(xué)》13卷〔1859〕；《代微積拾級》18卷〔1859〕。李善蘭與英國傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線說》3卷，華蘅芳與英國傳教士傅蘭雅合譯《代數(shù)術(shù)》25卷〔1872〕，《微積溯源》8卷〔1874〕，《決疑數(shù)學(xué)》10卷〔1880〕等。在這些譯著中，創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞和術(shù)語，至今仍在應(yīng)用。 1898年建立京師大學(xué)堂，同文館并入。1905年廢除科舉，建立西方式學(xué)校教育，使用的課本也與西方其它各國相仿。

九、中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)的建立

這一時(shí)期是從20世紀(jì)初至今的一段時(shí)間，常以1949年新中國成立為標(biāo)志劃分為兩個(gè)階段。

中國近現(xiàn)代數(shù)學(xué)開始于清末民初的留學(xué)活動(dòng)。較早出國學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有1903年留日的馮祖荀，1908年留美的鄭之蕃，1910年留美的胡明復(fù)和趙元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何魯，1913年留日的陳建功和留比利時(shí)的熊慶來〔1915年轉(zhuǎn)留法〕，1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數(shù)回國后成為著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家，為中國近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)。其中胡明復(fù)1917年取得美國哈佛大學(xué)博士學(xué)位，成為第一位獲得博士學(xué)位的中國數(shù)學(xué)家。隨著留學(xué)人員的回國，各地大學(xué)的數(shù)學(xué)教育有了起色。最初只有北京大學(xué)1912年成立時(shí)建立的數(shù)學(xué)系，1920年姜立夫在天津南開大學(xué)創(chuàng)建數(shù)學(xué)系，1921年和1926年熊慶來分別在東南大學(xué)〔今南京大學(xué)〕和清華大學(xué)建立數(shù)學(xué)系，不久武漢大學(xué)、齊魯大學(xué)、浙江大學(xué)、中山大學(xué)陸續(xù)設(shè)立了數(shù)學(xué)系，到1932年各地已有32所大學(xué)設(shè)立了數(shù)學(xué)系或數(shù)理系。1930年熊慶來在清華大學(xué)首創(chuàng)數(shù)學(xué)研究部，開始招收研究生，陳省身、吳大任成為國內(nèi)最早的數(shù)學(xué)研究生。三十年代出國學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的還有江澤涵〔1927〕、陳省身〔1934〕、華羅庚〔1936〕、許寶騤〔1936〕等人，他們都成為中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的骨干力量。同時(shí)外國數(shù)學(xué)家也有來華講學(xué)的，例如英國的羅素〔1920〕，美國的伯克霍夫〔1934〕、奧斯古德〔1934〕、維納〔1935〕，法國的阿達(dá)馬〔1936〕等人。1935年中國數(shù)學(xué)會(huì)成立大會(huì)在上海召開，共有33名代表出席。1936年〈中國數(shù)學(xué)會(huì)學(xué)報(bào)〉和《數(shù)學(xué)雜志》相繼問世，這些標(biāo)志著中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的進(jìn)一步發(fā)展。 解放以前的數(shù)學(xué)研究集中在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，在國內(nèi)外共發(fā)表論著600余種。在分析學(xué)方面，陳建功的三角級數(shù)論，熊慶來的亞純函數(shù)與整函數(shù)論研究是代表作，另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果；在數(shù)論與代數(shù)方面，華羅庚等人的解析數(shù)論、幾何數(shù)論和代數(shù)數(shù)論以及近世代數(shù)研究取得令世人矚目的成果;在幾何與拓?fù)鋵W(xué)方面，蘇步青的微分幾何學(xué)，江澤涵的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)，陳省身的纖維叢理論和示性類理論等研究做了開創(chuàng)性的工作：在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面，許寶騤在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴(yán)密證明。此外，李儼和錢寶琮開創(chuàng)了中國數(shù)學(xué)史的研究，他們在古算史料的注釋整理和考證分析方面做了許多奠基性的工作，使我國的民族文化遺產(chǎn)重放光彩。

1949年11月即成立中國科學(xué)院。1951年3月《中國數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》復(fù)刊〔1952年改為《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》〕，1951年10月《中國數(shù)學(xué)雜志》復(fù)刊〔1953年改為《數(shù)學(xué)通報(bào)》〕。1951年8月中國數(shù)學(xué)會(huì)召開建國后第一次國代表大會(huì)，討論了數(shù)學(xué)發(fā)展方向和各類學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)改革問題。

建國后的數(shù)學(xué)研究取得長足進(jìn)步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆棧素?cái)?shù)論》〔1953〕、蘇步青的《射影曲線概論》〔1954〕、陳建功的《直角函數(shù)級數(shù)的和》〔1954〕和李儼的《中算史論叢》5集〔1954-1955〕等專著，到1966年，共發(fā)表各種數(shù)學(xué)論文約2萬余篇。除了在數(shù)論、代數(shù)、幾何、拓?fù)洹⒑瘮?shù)論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)史等學(xué)科繼續(xù)取得新成果外，還在微分方程、計(jì)算技術(shù)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等分支有所突破，有許多論著達(dá)到世界先進(jìn)水平，同時(shí)培養(yǎng)和成長起一大批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家。

60年代后期，中國的數(shù)學(xué)研究基本停止，教育癱瘓、人員喪失、對外交流中斷，后經(jīng)多方努力狀況略有改變。1970年《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》恢復(fù)出版，并創(chuàng)刊《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識》。1973年陳景潤在《中國科學(xué)》上發(fā)表《大偶數(shù)表示為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過二個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和》的論文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國數(shù)學(xué)家在函數(shù)論、馬爾可夫過程、概率應(yīng)用、運(yùn)籌學(xué)、優(yōu)選法等方面也有一定創(chuàng)見。

1978年11月中國數(shù)學(xué)會(huì)召開第三次代表大會(huì)，標(biāo)志著中國數(shù)學(xué)的復(fù)蘇。1978年恢復(fù)全國數(shù)學(xué)競賽，1985年中國開始參加國際數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競賽。1981年陳景潤等數(shù)學(xué)家獲國家自然科學(xué)獎(jiǎng)勵(lì)。1983年國家首批授于18名中青年學(xué)者以博士學(xué)位，其中數(shù)學(xué)工作者占2/3。1986年中國第一次派代表參加國際數(shù)學(xué)家大會(huì)，加入國際數(shù)學(xué)聯(lián)合會(huì)，吳文俊應(yīng)邀作了關(guān)于中國古代數(shù)學(xué)史的45分鐘演講。近十幾年來數(shù)學(xué)研究碩果累累，發(fā)表論文專著的數(shù)量成倍增長，質(zhì)量不斷上升。1985年慶祝中國數(shù)學(xué)會(huì)成立50周年年會(huì)上，已確定中國數(shù)學(xué)發(fā)展的長遠(yuǎn)目標(biāo)。代表們立志要不懈地努力，爭取使中國在世界上早日成為新的數(shù)學(xué)大國。

十、中國數(shù)學(xué)的特點(diǎn)

（1）以算法為中心，屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)。中國數(shù)學(xué)不脫離社會(huì)生活與生產(chǎn)的實(shí)際，以解決實(shí)際問題為目標(biāo)，數(shù)學(xué)研究是圍繞建立算法與提高計(jì)算技術(shù)而展開的。

（2）具有較強(qiáng)的社會(huì)性。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中，數(shù)學(xué)被儒學(xué)家培養(yǎng)人的道德與技能的基本知識---六藝（禮、樂、射、御、書、數(shù)）之一，它的作用在于“通神明、順性命，經(jīng)世務(wù)、類萬物”，所以中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)總是被打上中國哲學(xué)與古代學(xué)術(shù)思想的烙印，往往與術(shù)數(shù)交織在一起。同時(shí)，數(shù)學(xué)教育與研究往往被封建政府所控制，唐宋時(shí)代的數(shù)學(xué)教育與科舉制度、歷代數(shù)學(xué)家往往是政府的天文官員，這些事例充分反映了這一性質(zhì)。

（3）寓理于算，理論高度概括。由于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)注重解決實(shí)際問題，而且因中國人綜合、歸納思維的決定，所以中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不關(guān)心數(shù)學(xué)理論的形式化，但這并不意味中國傳統(tǒng)僅停留在經(jīng)驗(yàn)層次而無理論建樹。其實(shí)中國數(shù)學(xué)的算法中蘊(yùn)涵著建立這些算法的理論基礎(chǔ)，中國數(shù)學(xué)家習(xí)慣把數(shù)學(xué)概念與方法建立在少數(shù)幾個(gè)不證自明、形象直觀的數(shù)學(xué)原理之上，如代數(shù)中的“率”的理論，平面幾何中的“出入相補(bǔ)”原理，立體幾何中的“陽馬術(shù)”、曲面體理論中的“截面原理”（或稱劉祖原理，即卡瓦列利原理）等等。

十一、中國數(shù)學(xué)對世界的影響

數(shù)學(xué)活動(dòng)有兩項(xiàng)基本工作----證明與計(jì)算，前者是由于接受了公理化（演繹化）數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)，后者是由于接受了機(jī)械化（算法化）數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)。在世界數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)中，以歐幾里得《幾何原本》為代表的希臘數(shù)學(xué)，無疑是西方演繹數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的基礎(chǔ)，而以《九章算術(shù)》為代表的中國數(shù)學(xué)無疑是東方算法化數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的基礎(chǔ)，它們東西輝映，共同促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)文化的發(fā)展。

中國數(shù)學(xué)通過絲綢之路傳播到印度、阿拉伯地區(qū)，后來經(jīng)阿拉伯人傳入西方。而且在漢字文化圈內(nèi)，一直影響著日本、朝鮮半島、越南等亞洲國家的數(shù)學(xué)發(fā)展。

數(shù)學(xué)家朱世杰的故事

　　引導(dǎo)語：自古以來我國出現(xiàn)了不少非常著名的數(shù)學(xué)家，那么有關(guān)數(shù)學(xué)家朱世杰的故事有哪些呢？接下來是我為你帶來收集整理的文章，歡迎閱讀！

　　朱世杰（1249年－1314年），字漢卿，號松庭，漢族，燕山（今北京）人氏，元代數(shù)學(xué)家、教育家，畢生從事數(shù)學(xué)教育。有“中世紀(jì)世界最偉大的數(shù)學(xué)家”之譽(yù)。朱世杰在當(dāng)時(shí)天元術(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展出“四元術(shù)”，也就是列出四元高次多項(xiàng)式方程，以及消元求解的方法。此外他還創(chuàng)造出“垛積法”，即高階等差數(shù)列的求和方法，與“招差術(shù)”，即高次內(nèi)插法。主要著作是《算學(xué)啟蒙》與《四元玉鑒》。

　　朱世杰“以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年”，“踵門而學(xué)者云集”(莫若、祖頤：《四元玉鑒》后序）。朱世杰數(shù)學(xué)代表作有《算學(xué)啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）。朱世杰著作《算術(shù)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數(shù)學(xué)的發(fā)展?！端脑耔b》則是中國宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個(gè)標(biāo)志，其中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)造有“四元術(shù)”（多元高次方程列式與消元解法）、“垛積術(shù)”（高階等差數(shù)列求和）與“招差術(shù)”（高次內(nèi)插法）。

　　宋元時(shí)期，中國數(shù)學(xué)鼎盛時(shí)期中杰出的數(shù)學(xué)家有“秦﹝九韶﹞、李﹝冶﹞、楊﹝輝﹞、朱﹝世杰﹞四大家”，朱世杰就是其中之一。朱世杰是一位平民數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。朱世杰平生勤力研習(xí)《九章算術(shù)》，旁通其它各種算法，成為元代著名數(shù)學(xué)家。

　　 生平經(jīng)歷

　　元統(tǒng)一中國后，朱世杰曾以數(shù)學(xué)家的身份周游各地20余年，向他求學(xué)的人很多，他到廣陵(今揚(yáng)州)時(shí)“踵門而學(xué)者云集”。他全面繼承了前人數(shù)學(xué)成果，既吸收了北方的天元術(shù)，又吸收了南方的正負(fù)開方術(shù)、各種日用算法及通俗歌訣，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了創(chuàng)造性的研究，寫成以總結(jié)和普及當(dāng)時(shí)各種數(shù)學(xué)知識為宗旨的《算學(xué)啟蒙》(3卷)，又寫成四元術(shù)的代表作--《四元玉鑒》(3卷)，先后于：1299年和1303年刊印．《算學(xué)啟蒙》由淺入深，從一位數(shù)乘法開始，一直講到當(dāng)時(shí)的最新數(shù)學(xué)成果――天元術(shù)，形成一個(gè)完整體系。書中明確提出正負(fù)數(shù)乘法法則，給出倒數(shù)的概念和基本性質(zhì)，概括出若干新的乘法公式和根式運(yùn)算法則，總結(jié)了若干乘除捷算口訣，并把設(shè)輔助未知數(shù)的方法用于解線性方程組．《四元玉鑒》的主要內(nèi)容是四元術(shù)，即多元高次方程組的建立和求解方法．秦九韶的高次方程數(shù)值解法和李冶的天元術(shù)都被包含在內(nèi)．朱世杰學(xué)術(shù)研究

　　在宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)群英中，朱世杰的工作具有特殊重要的意義．如果把諸多數(shù)學(xué)家比作群山，則朱世杰是最高大、最雄偉的山峰．站在朱世杰數(shù)學(xué)思想的高度俯嫩傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，會(huì)有"一覽眾山小"之感．來世杰工作的意義就在于總結(jié)了宋元數(shù)學(xué)，使之在理論上達(dá)到新的高度．這主要表現(xiàn)在以下三個(gè)領(lǐng)域．首先是方程理論．在列方程方面，蔣周的演段法為天元術(shù)作了準(zhǔn)備工作，他已具有尋找等值多項(xiàng)式的思想，洞淵馬與信道是天元術(shù)的先驅(qū)，但他們推導(dǎo)方程仍受幾何思維的束縛，李冶基本上擺脫了這種束縛，總結(jié)出一套固定的天元術(shù)程序，使天元術(shù)進(jìn)入成熟階段．在解方程方面，賈憲給出增乘開方法，劉益則用正負(fù)開方術(shù)求出四次方程正根，秦九韶在此基礎(chǔ)上解決了高次方程的數(shù)值解法問題．至此，一元高次方程的建立和求解都已實(shí)現(xiàn)．而線性方程組古已有之，所以具備了多元高次方程組產(chǎn)生的條件．李德載的二元術(shù)和劉大鑒的三元術(shù)相繼出現(xiàn)，朱世杰的四元術(shù)正是對二元術(shù)、三元術(shù)的總結(jié)與提高．由于四元已把常數(shù)項(xiàng)的上下左右占滿，方程理論發(fā)展到這里，顯然就告一段落了．從方程種類看，天元術(shù)產(chǎn)生之前的方程都是整式方程。

　　從洞淵到李冶，分式方程逐漸得到發(fā)展．而朱世杰，則突破了有理式的限制，開始處理無理方程．其次是高階等差級數(shù)的研究．沈括的隙積術(shù)開研究高階等差級數(shù)之先河，楊輝給出包括隙積術(shù)在內(nèi)的一系列二階等差級數(shù)求和公式．朱世杰則在此基礎(chǔ)上依次研究了二階、三階、四階乃至五階等差級數(shù)的求和問題，從而發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，掌握了三角垛統(tǒng)一公式．他還發(fā)現(xiàn)了垛積術(shù)與內(nèi)插法的內(nèi)在聯(lián)系，利用垛積公式給出規(guī)范的四次內(nèi)插公式．第三是幾何學(xué)的研究．宋代以前，幾何研究離不開勾股和面積、體積．蔣周的《益古集》也是以面積問題為研究對象的．李冶開始注意到圓城因式中各元素的關(guān)系，得到一些定理，但未能推廣到更一般的情形．朱世杰不僅總結(jié)了前人的勾股及求積理論，而且在李冶思想的基礎(chǔ)上更進(jìn)一步，深入研究了勾股形內(nèi)及圓內(nèi)各幾何元素的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)重要定理--射影定理和弦冪定理．他在立體幾何中也開始注意到圖形內(nèi)各元素的關(guān)系．朱世杰的工作，使得幾何研究的對象由圖形整體深入到圖形內(nèi)部，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的進(jìn)步。

　　 著名軼聞

　　13世紀(jì)末，歷經(jīng)戰(zhàn)亂的'祖國為元王朝所統(tǒng)一，遭到破壞的經(jīng)濟(jì)和文化又很快繁榮起來。蒙古統(tǒng)治者為了興邦安國，便尊重知識，選拔人才，把各門科學(xué)推向新的高峰。有一天，風(fēng)景秀麗的揚(yáng)州瘦西湖畔，來了一位教書先生，在寓所門前掛起一塊招牌，上面用大字寫著：“燕山朱松庭先生，專門教授四元術(shù)”。不幾天，朱世杰門前門庭若市，求知者絡(luò)繹不絕，就在朱世杰在接待學(xué)生報(bào)名之時(shí)，突然一聲聲叫罵聲引起他的注意。只見一穿綢戴銀半老徐娘，追著一年輕的姑娘，邊打邊罵：“你這賤女人，大把的銀子你不抓，難道想做大家閨秀，只怕你投錯(cuò)了胎，下輩子也別想了。”那姑娘被打得皮開肉綻，連內(nèi)身衣服都被撕壞了。姑娘蜷成一團(tuán)，任憑她打，也不跟她回去。朱世杰路見不平，便上前詢問，那半老徐娘見冒出一個(gè)愛管閑事之人，就嘲笑道：“你難道想抱打不平，你送上50兩銀子，這姑娘就歸你了！”朱世杰見此情景，大怒道：“難道我掏不出50兩銀子。光天化日之下，竟胡作非為，難道沒有王法不成？”那半老徐娘諷刺道：“你這窮鬼，還談什么王法，銀子就是王法，你若能掏出50兩銀子，我便不打了?！?/p>

　　朱世杰憤怒已極，從口袋里抓出50兩銀子，摔在半老徐娘面前，拉起姑娘就回到自己的教書之地。原來，那半老徐娘是鴇母，而這姑娘的父親因借鴇母的10兩銀子，由于天災(zāi)，還不起銀子，只好賣女兒抵債。今天碰巧遇上朱世杰，才把姑娘救出苦海。后來，在朱世杰的精心教導(dǎo)下，這姑娘也頗懂些數(shù)學(xué)知識，成了朱世杰的得力助手，不幾年，兩人便結(jié)成夫妻。所以，揚(yáng)州民間至今還流傳著這樣一句話：元朝朱漢卿，教書又育人。救人出苦海，婚姻大事成。

　　 揚(yáng)州軼事

　　據(jù)此我們知道，朱世杰出生在北京地區(qū)，十三世紀(jì)后期，他作為數(shù)學(xué)名家周流大江南北20余年，朱世杰最后寓居揚(yáng)州，從事數(shù)學(xué)的研究和講學(xué)，他吸引了眾多學(xué)者聚集在揚(yáng)州從事學(xué)術(shù)交流。揚(yáng)州處于南北交匯之地，各種學(xué)術(shù)思想在這里融會(huì)貫通；當(dāng)時(shí)，揚(yáng)州的印刷業(yè)又十分發(fā)達(dá)，是全國的書籍出版中心，體現(xiàn)朱世杰數(shù)學(xué)成就的兩部著作《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》，就是于元大德三年（1299年）和元大德七年（1303年）在揚(yáng)州刻印出版的?！端銓W(xué)啟蒙》全書共3卷，分為20門，收入了259個(gè)數(shù)學(xué)問題。全書之首，朱世杰給出了18條常用的數(shù)學(xué)歌訣和各種常用的數(shù)學(xué)常數(shù)，其中包括：乘法九九歌訣、除法九歸歌訣（與后來的珠算歸除口訣完全相同）、斤兩化零歌訣，以及籌算記數(shù)法則、大小數(shù)進(jìn)位法、度量衡換算、圓周率、正負(fù)數(shù)加、減、乘法法則、開方法則等。正文則包括了乘除法運(yùn)算及其捷算法、增乘開方法、天元術(shù)、線性方程組解法、高階等差級數(shù)求和等，全書由淺入深，幾乎包括了當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科各方面的內(nèi)容，形成了一個(gè)較完整的體系，可以說是一部很好的數(shù)學(xué)教科書。清代揚(yáng)州學(xué)者羅士琳說，《算學(xué)啟蒙》“似淺實(shí)深”，這樣的評論是十分中肯的。

　　《四元玉鑒》是朱世杰闡述多年研究成果的一部力著。全書共分3卷，24門，288問，書中所有問題都與求解方程或求解方程組有關(guān)，其中四元的問題（需設(shè)立四個(gè)未知數(shù)者）有7問，三元者13問，二元者36問，一元者232問。卷首列出了賈憲三角等四種五幅圖，給出了天元術(shù)、二元術(shù)、三元術(shù)、四元術(shù)的解法范例；后三者分別是二元、三元、四元高次方程組的列法及解法。創(chuàng)造四元消法，解決多元高次方程組問題是該書的最大貢獻(xiàn)，書中另一個(gè)重大成就是系統(tǒng)解決高階等差級數(shù)求和問題和高次招差法問題。在朱世杰之前，中國古代數(shù)學(xué)已有了解方程的方法———“天元術(shù)”，“天元術(shù)”解方程是設(shè)“天元為某某”，某某就是（x）。朱世杰不僅繼承沿用了天元術(shù)，方程組解法由二元、三元推廣至四元。未知數(shù)不止一個(gè)時(shí)，除設(shè)未知數(shù)天元（x）外，還設(shè)地元（y）、人元（z）及物元（u），再列出二元、三元甚至四元的高次聯(lián)立方程組，然后求解。在歐洲，解聯(lián)立一次方程始于16世紀(jì)，關(guān)于多元高次聯(lián)立方程的研究則是18、19世紀(jì)的事了，朱世杰的“天元術(shù)”比歐洲早了400多年。

　　朱世杰對“垛積術(shù)”的研究，實(shí)際上得到了高階等差級數(shù)求和問題的普遍的解法。自宋代起我國就有了關(guān)于高階等差級數(shù)求和問題的研究，沈括（1031-1095年）和楊輝（1261-1275年）的著作中，都有垛積問題，這些垛積問題有一些就涉及高階等差級數(shù)，朱世杰在《四元玉鑒》中又把這一問題的研究進(jìn)一步深化，得到了一串三角垛的公式。

　　《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著，是宋元數(shù)學(xué)集大成者，也是我國古代水平最高的一部數(shù)學(xué)著作?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)史研究者對《四元玉鑒》給予了高度評價(jià)。著名科學(xué)史專家喬治·薩頓說，《四元玉鑒》“是中國數(shù)學(xué)著作中最重要的一部，同時(shí)也是中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一”。編著《中國科學(xué)技術(shù)史》的李約瑟這樣評價(jià)朱世杰和《四元玉鑒》：“他以前的數(shù)學(xué)家都未能達(dá)到這部精深的著作中所包含的奧妙的道理”。

　　遺憾的是，朱世杰之后，元代再無高深的數(shù)學(xué)著作出現(xiàn)，漢唐宋元的數(shù)學(xué)著作很少有新的刻本，很多甚至失傳了。乾隆三十七年(1772年)開《四庫全書》館時(shí)，挖掘了不少古代數(shù)學(xué)典籍，朱世杰的著作卻未被發(fā)現(xiàn)，因此，起初沒有編入；1799年阮元、李銳等人編纂數(shù)學(xué)家傳記《疇人傳》時(shí)，也未介紹《四元玉鑒》。之后不久，阮元在浙江訪得此書，旋即將其編入《四庫全書》，并把抄本交給李銳校算（未校完），后由何元錫按此抄本刻印，這是《四元玉鑒》1303年初版以來的第一個(gè)重刻本。1839年揚(yáng)州學(xué)者羅士琳經(jīng)多年研究之后，出版了他所編著的《四元玉鑒細(xì)草》，羅氏對《四元玉鑒》書中每一問題都作了細(xì)草。就在羅士琳翻刻《四元玉鑒》時(shí)，《算學(xué)啟蒙》也還無著落。后來羅士琳“聞朝鮮以是書為算科取士”，于是請人在北京找到了順治十七年（1660年）朝鮮全州府尹金始振所刻的翻刻本，這樣，《算學(xué)啟蒙》又在揚(yáng)州重新刊印出版，這就是該書現(xiàn)存各種版本的母本。

　　元代朱世杰這兩部杰出的數(shù)學(xué)著作都是在揚(yáng)州完成、刻印的，失傳了幾百年后，它們又被揚(yáng)州學(xué)者發(fā)現(xiàn)、校算、注釋，并在揚(yáng)州重新刻印出版，僅此可見，揚(yáng)州在我國數(shù)學(xué)發(fā)展史上有著十分重要的地位。

數(shù)的發(fā)展史

1 中國古代數(shù)學(xué)的發(fā)展

在古代世界四大文明中，中國數(shù)學(xué)持續(xù)繁榮時(shí)期最為長久。從公元前后至公元14世紀(jì)，中國古典數(shù)學(xué)先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時(shí)期、魏晉南北朝時(shí)期和宋元時(shí)期，并在宋元時(shí)期達(dá)到頂峰。

與以證明定理為中心的希臘古典數(shù)學(xué)不同，中國古代數(shù)學(xué)是以創(chuàng)造算法特別是各種解方程的算法為主線。從線性方程組到高次多項(xiàng)式方程，乃至不定方程，中國古代數(shù)學(xué)家創(chuàng)造了一系列先進(jìn)的算法(中國數(shù)學(xué)家稱之為“術(shù)”)，他們用這些算法去求解相應(yīng)類型的代數(shù)方程，從而解決導(dǎo)致這些方程的各種各樣的科學(xué)和實(shí)際問題。特別是，幾何問題也歸結(jié)為代數(shù)方程，然后用程式化的算法來求解。因此，中國古代數(shù)學(xué)具有明顯的算法化、機(jī)械化的特征。以下?lián)褚e例說明中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展的這種特征。

1.1 線性方程組與“方程術(shù)”

中國古代最重要的數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》(約公元前2世紀(jì))卷8的“方程術(shù)”，是解線性方程組的算法。以該卷第1題為例，用現(xiàn)代符號表述，該問題相當(dāng)于解一個(gè)三元一次方程組：

3x+2y+z＝39

2x+3y+z＝34

x+2y+3z＝26

《九章》沒有表示未知數(shù)的符號，而是用算籌將x?y?z的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)排列成一個(gè)(長)方陣：

1 2 3

2 3 2

3 1 1

26 34 39

“方程術(shù)”的關(guān)鍵算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：用右行(x)的系數(shù)(3)“遍乘”中行和左行各數(shù)，然后從所得結(jié)果按行分別“直除”右行，即連續(xù)減去右行對應(yīng)各數(shù)，就將中行與左行的系數(shù)化為0。反復(fù)執(zhí)行這種“遍乘直除”算法，就可以解出方程。很清楚，《九章算術(shù)》方程術(shù)的“遍乘直除” 算法，實(shí)質(zhì)上就是我們今天所使用的解線性方程組的消元法，以往西方文獻(xiàn)中稱之為“高斯消去法”，但近年開始改變稱謂,如法國科學(xué)院院士、原蘇黎世大學(xué)數(shù)學(xué)系主任P.Gabriel教授在他撰寫的教科書[4]中就稱解線性方程組的消元法為“張蒼法”，張蒼相傳是《九章算術(shù)》的作者之一。

1.2 高次多項(xiàng)式方程與“正負(fù)開方術(shù)”

《九章算術(shù)》卷4中有“開方術(shù)”和“開立方術(shù)”?！毒耪滤阈g(shù)》中的這些算法后來逐步推廣到開更高次方的情形，并且在宋元時(shí)代發(fā)展為一般高次多項(xiàng)式方程的數(shù)值求解。秦九韶是這方面的集大成者，他在《數(shù)書九章》(1247年)一書中給出了高次多項(xiàng)式方程數(shù)值解的完整算法，即他所稱的“正負(fù)開方術(shù)”。

用現(xiàn)代符號表達(dá)，秦九韶“正負(fù)開方術(shù)”的思路如下：對任意給定的方程

f(x)=a0xn+a1xn-1+……+an-2x2+an-1x+an=0 (1)

其中a0≠0，an<0,要求(1)式的一個(gè)正根。秦九韶先估計(jì)根的最高位數(shù)字，連同其位數(shù)一起稱為“首商”，記作c，則根x＝c+h，代入(1)得

f(c+h)=a0(c+h)n+a1(c+h)n-1+……+an-1(c+h)+an=0

按h的冪次合并同類項(xiàng)即得到關(guān)于h的方程:

f(h)=a0hn+a1hn-1+……+an-1h+an=0 (2)

于是又可估計(jì)滿足新方程(2)的根的最高位數(shù)字。如此進(jìn)行下去，若得到某個(gè)新方程的常數(shù)項(xiàng)為0，則求得的根是有理數(shù)；否則上述過程可繼續(xù)下去，按所需精度求得根的近似值。

如果從原方程(1)的系數(shù)a0,a1，…,an及估值c求出新方程(2)的系數(shù)a0,a1，…,an的算法是需要反復(fù)迭代使用的，秦九韶給出了一個(gè)規(guī)格化的程序，我們可稱之為“秦九韶程序”， 他在《數(shù)書九章》中用這一算法去解決各種可以歸結(jié)為代數(shù)方程的實(shí)際問題，其中涉及的方程最高次數(shù)達(dá)到10次，秦九韶解這些問題的算法整齊劃一，步驟分明，堪稱是中國古代數(shù)學(xué)算法化、機(jī)械化的典范。

1.3 多元高次方程組與“四元術(shù)”

絕不是所有的問題都可以歸結(jié)為線性方程組或一個(gè)未知量的多項(xiàng)式方程來求解。實(shí)際上，可以說更大量的實(shí)際問題如果能化為代數(shù)方程求解的話，出現(xiàn)的將是含有多個(gè)未知量的高次方程組。

多元高次方程組的求解即使在今天也絕非易事。歷史上最早對多元高次方程組作出系統(tǒng)處理的是中國元代數(shù)學(xué)家朱世杰。朱世杰的《四元玉鑒》(1303年)一書中涉及的高次方程達(dá)到了4個(gè)未知數(shù)。朱世杰用“四元術(shù)”來解這些方程。“四元術(shù)”首先是以“天”、“地”、“人”、“物”來表示不同的未知數(shù)，同時(shí)建立起方程式，然后用順序消元的一般方法解出方程。朱世杰在《四元玉鑒》中創(chuàng)造了多種消元程序。

通過《四元玉鑒》中的具體例子可以清晰地了解朱世杰“四元術(shù)”的特征。值得注意的是，這些例子中相當(dāng)一部分是由幾何問題導(dǎo)出的。這種將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程并用某種統(tǒng)一的算法求解的例子，在宋元數(shù)學(xué)著作中比比皆是，充分反映了中國古代幾何代數(shù)化和機(jī)械化的傾向。

1.4 一次同余方程組與“中國剩余定理”

中國古代數(shù)學(xué)家出于歷法計(jì)算的需要，很早就開始研究形如：

X≡Ri (mod ai) i=1,2,...,n (1)

(其中ai 是兩兩互素的整數(shù))的一次同余方程組求解問題。公元4世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》中已有相當(dāng)于求解下列一次同余組的著名的“孫子問題”：

X≡2(mod3) ≡3(mod5) ≡2(mod7)

《孫子算經(jīng)》作者給出的解法，引導(dǎo)了宋代秦九韶求解一次同余組的一般算法——“大衍求一術(shù)”?，F(xiàn)代文獻(xiàn)中通常把這種一般算法稱為“中國剩余定理”。

1.5 插值法與“招差術(shù)”

插值算法在微積分的醞釀過程中扮演了重要角色。在中國，早從東漢時(shí)期起，學(xué)者們就慣用插值法來推算日月五星的運(yùn)動(dòng)。起初是簡單的一次內(nèi)插法，隋唐時(shí)期出現(xiàn)二次插值法(如一行《大衍歷》，727年)。由于天體運(yùn)動(dòng)的加速度也不均勻，二次插值仍不夠精密。隨著歷法的進(jìn)步，到了宋元時(shí)代，便產(chǎn)生了三次內(nèi)插法(郭守敬《授時(shí)歷》，1280年)。在此基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)家朱世杰更創(chuàng)造出一般高次內(nèi)插公式，即他所說的“招差術(shù)”。 朱世杰的公式相當(dāng)于

f(n)=n△+ n(n?1)△2+ n(n?1)(n?2)△3

+ n(n?1)(n?2)(n?3)△4+……

這是一項(xiàng)很突出的成就。

這里不可能一一列舉中國古代數(shù)學(xué)家的所有算法，但僅從以上介紹不難看到，古代與中世紀(jì)中國數(shù)學(xué)家創(chuàng)造的算法，有許多即使按現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)衡量也達(dá)到了很高的水平。這些算法所表達(dá)的數(shù)學(xué)真理，有的在歐洲直到18世紀(jì)以后依賴近代數(shù)學(xué)工具才重新獲得(如前面提到的高次代數(shù)方程數(shù)值求解的秦九韶程序，與1819年英國數(shù)學(xué)家W. 霍納重新導(dǎo)出的“霍納算法”基本一致；多元高次方程組的系統(tǒng)研究在歐洲也要到18世紀(jì)末才開始在E. 別朱等人的著作中出現(xiàn)；解一次同余組的剩余定理則由歐拉與高斯分別獨(dú)立重新獲得；至于朱世杰的高次內(nèi)插公式，實(shí)質(zhì)上已與現(xiàn)在通用的牛頓-格列高里公式相一致)。這些算法的結(jié)構(gòu)，其復(fù)雜程度也是驚人的。如對秦九韶“大衍求一術(shù)”和“正負(fù)開方術(shù)”的分析表明，這些算法的計(jì)算程序，包含了現(xiàn)代計(jì)算機(jī)語言中構(gòu)造非平易算法的基本要素與基本結(jié)構(gòu)。這類復(fù)雜的算法，很難再僅僅被看作是簡單的經(jīng)驗(yàn)法則了，而是高度的概括思維能力的產(chǎn)物，這種能力與歐幾里得幾何的演繹思維風(fēng)格截然不同，但卻在數(shù)學(xué)的發(fā)展中起著完全可與之相媲美的作用。事實(shí)上，古代中國算法的繁榮，同時(shí)也孕育了一系列極其重要的概念，顯示了算法化思維在數(shù)學(xué)進(jìn)化中的創(chuàng)造意義和動(dòng)力功能。以下亦舉幾例。

1.6 負(fù)數(shù)的引進(jìn)

《九章算術(shù)》“方程術(shù)”的消元程序，在方程系數(shù)相減時(shí)會(huì)出現(xiàn)較小數(shù)減較大數(shù)的情況，正是在這里，《九章算術(shù)》的作者們引進(jìn)了負(fù)數(shù)，并給出了正、負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則，即“正負(fù)術(shù)”。

對負(fù)數(shù)的認(rèn)識是人類數(shù)系擴(kuò)充的重大步驟。公元7世紀(jì)印度數(shù)學(xué)家也開始使用負(fù)數(shù)，但負(fù)數(shù)的認(rèn)識在歐洲卻進(jìn)展緩慢，甚至到16世紀(jì)，韋達(dá)的著作還回避負(fù)數(shù)。

1.7 無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)

中國古代數(shù)學(xué)家在開方運(yùn)算中接觸到了無理數(shù)?！毒耪滤阈g(shù)》開方術(shù)中指出了存在有開不盡的情形：“若開方不盡者，為不可開”，《九章算術(shù)》的作者們給這種不盡根數(shù)起了一個(gè)專門名詞——“面”?！懊妗?，就是無理數(shù)。與古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派發(fā)現(xiàn)正方形的對角線不是有理數(shù)時(shí)驚慌失措的表現(xiàn)相比，中國古代數(shù)學(xué)家卻是相對自然地接受了那些“開不盡”的無理數(shù)，這也許應(yīng)歸功于他們早就習(xí)慣使用的十進(jìn)位制，這種十進(jìn)位制使他們能夠有效地計(jì)算“不盡根數(shù)”的近似值。為《九章算術(shù)》作注的三國時(shí)代數(shù)學(xué)家劉徽就在“開方術(shù)”注中明確提出了用十進(jìn)制小數(shù)任意逼近不盡根數(shù)的方法，他稱之為“求微數(shù)法”，并指出在開方過程中，“其一退以十為步，其再退以百為步，退之彌下，其分彌細(xì)，則……雖有所棄之?dāng)?shù)，不足言之也”。

十進(jìn)位值記數(shù)制是對人類文明不可磨滅的貢獻(xiàn)。法國大數(shù)學(xué)家拉普拉斯曾盛贊十進(jìn)位值制的發(fā)明，認(rèn)為它“使得我們的算術(shù)系統(tǒng)在所有有用的創(chuàng)造中成為第一流的”。中國古代數(shù)學(xué)家正是在嚴(yán)格遵循十進(jìn)位制的籌算系統(tǒng)基礎(chǔ)上，建立起了富有算法化特色的東方數(shù)學(xué)大廈。

1.8 賈憲三角或楊輝三角

從前面關(guān)于高次方程數(shù)值求解算法(秦九韶程序)的介紹我們可以看到，中國古代開方術(shù)是以?c+h　n的二項(xiàng)展開為基礎(chǔ)的，這就引導(dǎo)了二項(xiàng)系數(shù)表的發(fā)現(xiàn)。南宋數(shù)學(xué)家楊輝著《詳解九章算法》(1261年)中，載有一張所謂“開方作法本源圖”，實(shí)際就是一張二項(xiàng)系數(shù)表。這張圖摘自公元1050年左右北宋數(shù)學(xué)家賈憲的一部著作?！伴_方作法本源圖”現(xiàn)在就叫“賈憲三角”或“楊輝三角”。二項(xiàng)系數(shù)表在西方則叫“帕斯卡三角”?1654年　。

1.9 走向符號代數(shù)

解方程的數(shù)學(xué)活動(dòng)，必然引起人們對方程表達(dá)形式的思考。在這方面，以解方程擅長的中國古代數(shù)學(xué)家們很自然也是走在了前列。在宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)著作中，已出現(xiàn)了用特定的漢字作為未知數(shù)符號并進(jìn)而建立方程的系統(tǒng)努力。這就是以李冶為代表的“天元術(shù)”和以朱世杰為代表的“四元術(shù)”。所謂“天元術(shù)”，首先是“立天元一為某某”，這相當(dāng)于“設(shè)為某某”，“天元一”就表示未知數(shù)，然后在籌算盤上布列“天元式”，即一元方程式。該方法被推廣到多個(gè)未知數(shù)情形，就是前面提到的朱世杰的“四元術(shù)”。因此，用天元術(shù)和四元術(shù)列方程的方法，與現(xiàn)代代數(shù)中的列方程法已相類似。

符號化是近世代數(shù)的標(biāo)志之一。中國宋元數(shù)學(xué)家在這方面邁出了重要一步，“天元術(shù)”和“四元術(shù)”，是以創(chuàng)造算法特別是解方程的算法為主線的中國古代數(shù)學(xué)的一個(gè)高峰?。

2 中國古代數(shù)學(xué)對世界數(shù)學(xué)發(fā)展的貢獻(xiàn)

數(shù)學(xué)的發(fā)展包括了兩大主要活動(dòng)：證明定理和創(chuàng)造算法。定理證明是希臘人首倡，后構(gòu)成數(shù)學(xué)發(fā)展中演繹傾向的脊梁；算法創(chuàng)造昌盛于古代和中世紀(jì)的中國、印度，形成了數(shù)學(xué)發(fā)展中強(qiáng)烈的算法傾向。統(tǒng)觀數(shù)學(xué)的歷史將會(huì)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)的發(fā)展并非總是演繹傾向獨(dú)占鰲頭。在數(shù)學(xué)史上，算法傾向與演繹傾向總是交替地取得主導(dǎo)地位。古代巴比倫和埃及式的原始算法時(shí)期，被希臘式的演繹幾何所接替，而在中世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)衰落下去，算法傾向在中國、印度等東方國度繁榮起來；東方數(shù)學(xué)在文藝復(fù)興前夕通過阿拉伯傳播到歐洲，對近代數(shù)學(xué)興起產(chǎn)生了深刻影響。事實(shí)上，作為近代數(shù)學(xué)誕生標(biāo)志的解析幾何與微積分，從思想方法的淵源看都不能說是演繹傾向而是算法傾向的產(chǎn)物。

從微積分的歷史可以知道，微積分的產(chǎn)生是尋找解決一系列實(shí)際問題的普遍算法的結(jié)果?6?。這些問題包括：決定物體的瞬時(shí)速度、求極大值與極小值、求曲線的切線、求物體的重心及引力、面積與體積計(jì)算等。從16世紀(jì)中開始的100多年間，許多大數(shù)學(xué)家都致力于獲得解決這些問題的特殊算法。牛頓與萊布尼茲的功績是在于將這些特殊的算法統(tǒng)一成兩類基本運(yùn)算——微分與積分，并進(jìn)一步指出了它們的互逆關(guān)系。無論是牛頓的先驅(qū)者還是牛頓本人，他們所使用的算法都是不嚴(yán)格的，都沒有完整的演繹推導(dǎo)。牛頓的流數(shù)術(shù)在邏輯上的瑕疵更是眾所周知。對當(dāng)時(shí)的學(xué)者來說，首要的是找到行之有效的算法，而不是算法的證明。這種傾向一直延續(xù)到18世紀(jì)。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家也往往不管微積分基礎(chǔ)的困難而大膽前進(jìn)。如泰勒公式，歐拉、伯努利甚至19世紀(jì)初傅里葉所發(fā)現(xiàn)的三角展開等，都是在很長時(shí)期內(nèi)缺乏嚴(yán)格的證明。正如馮·諾伊曼指出的那樣：沒有一個(gè)數(shù)學(xué)家會(huì)把這一時(shí)期的發(fā)展看作是異端邪道；這個(gè)時(shí)期產(chǎn)生的數(shù)學(xué)成果被公認(rèn)為第一流的。并且反過來，如果當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家一定要在有了嚴(yán)密的演繹證明之后才承認(rèn)新算法的合理性，那就不會(huì)有今天的微積分和整個(gè)分析大廈了。

現(xiàn)在再來看一看更早的解析幾何的誕生。通常認(rèn)為，笛卡兒發(fā)明解析幾何的基本思想，是用代數(shù)方法來解幾何問題。這同歐氏演繹方法已經(jīng)大相徑庭了。而事實(shí)上如果我們?nèi)ラ喿x笛卡兒的原著，就會(huì)發(fā)現(xiàn)貫穿于其中的徹底的算法精神?！稁缀螌W(xué)》開宗明義就宣稱：“我將毫不猶豫地在幾何學(xué)中引進(jìn)算術(shù)的術(shù)語，以便使自己變得更加聰明”。眾所周知，笛卡兒的《幾何學(xué)》是他的哲學(xué)著作《方法論》的附錄。笛卡兒在他另一部生前未正式發(fā)表的哲學(xué)著作《指導(dǎo)思維的法則》(簡稱《法則》)中曾強(qiáng)烈批判了傳統(tǒng)的主要是希臘的研究方法，認(rèn)為古希臘人的演繹推理只能用來證明已經(jīng)知道的事物，“卻不能幫助我們發(fā)現(xiàn)未知的事情”。因此他提出“需要一種發(fā)現(xiàn)真理的方法”，并稱之為“通用數(shù)學(xué)”(mathesis universakis)。笛卡兒在《法則》中描述了這種通用數(shù)學(xué)的藍(lán)圖，他提出的大膽計(jì)劃，概而言之就是要將一切科學(xué)問題轉(zhuǎn)化為求解代數(shù)方程的數(shù)學(xué)問題：

任何問題→數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程求解而笛卡兒的《幾何學(xué)》，正是他上述方案的一個(gè)具體實(shí)施和示范，解析幾何在整個(gè)方案中扮演著重要的工具作用，它將一切幾何問題化為代數(shù)問題，這些代數(shù)問題則可以用一種簡單的、幾乎自動(dòng)的或者毋寧說是機(jī)械的方法去解決。這與上面介紹的古代中國數(shù)學(xué)家解決問題的路線可以說是一脈相承。

因此我們完全有理由說，在從文藝復(fù)興到17世紀(jì)近代數(shù)學(xué)興起的大潮中，回響著東方數(shù)學(xué)特別是中國數(shù)學(xué)的韻律。整個(gè)17—18世紀(jì)應(yīng)該看成是尋求無窮小算法的英雄年代，盡管這一時(shí)期的無窮小算法與中世紀(jì)算法相比有質(zhì)的飛躍。而從19世紀(jì)特別是70年代直到20世紀(jì)中，演繹傾向又重新在比希臘幾何高得多的水準(zhǔn)上占據(jù)了優(yōu)勢。因此，數(shù)學(xué)的發(fā)展呈現(xiàn)出算法創(chuàng)造與演繹證明兩大主流交替繁榮、螺旋式上升過程：

演繹傳統(tǒng)——定理證明活動(dòng)

算法傳統(tǒng)——算法創(chuàng)造活動(dòng)

中國古代數(shù)學(xué)家對算法傳統(tǒng)的形成與發(fā)展做出了毋容置疑的巨大貢獻(xiàn)。

我們強(qiáng)調(diào)中國古代數(shù)學(xué)的算法傳統(tǒng)，并不意味中國古代數(shù)學(xué)中沒有演繹傾向。事實(shí)上，在魏晉南北朝時(shí)期一些數(shù)學(xué)家的工作中，已出現(xiàn)具有相當(dāng)深度的論證思想。如趙爽勾股定理證明、劉徽“陽馬”?一種長方錐體　體積證明、祖沖之父子對球體積公式的推導(dǎo)等等，均可與古希臘數(shù)學(xué)家相應(yīng)的工作媲美。趙爽勾股定理證明示意圖“弦圖”原型，已被采用作2002年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)。令人迷惑的是，這種論證傾向隨著南北朝的結(jié)束，可以說是戛然而止。囿于篇幅和本文重點(diǎn)，對這方面的內(nèi)容這里不能詳述，有興趣的讀者可參閱參考文獻(xiàn)?3?。

3 古為今用，創(chuàng)新發(fā)展

到了20世紀(jì)，至少從中葉開始，電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)對數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來了深遠(yuǎn)影響，并孕育出孤立子理論、混沌動(dòng)力學(xué)、四色定理證明等一系列令人矚目的成就。借助計(jì)算機(jī)及有效的算法猜測發(fā)現(xiàn)新事實(shí)、歸納證明新定理乃至進(jìn)行更一般的自動(dòng)推理……，這一切可以說已揭開了數(shù)學(xué)史上一個(gè)新的算法繁榮時(shí)代的偉大序幕?？茖W(xué)界敏銳的有識之士紛紛預(yù)見到數(shù)學(xué)發(fā)展的這一趨勢。在我國，早在上世紀(jì)50年代，華羅庚教授就親自領(lǐng)導(dǎo)建立了計(jì)算機(jī)研制組，為我國計(jì)算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。吳文俊教授更是從70年代中開始，毅然由原先從事的拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域轉(zhuǎn)向定理機(jī)器證明的研究，并開創(chuàng)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的嶄新領(lǐng)域——數(shù)學(xué)機(jī)械化。被國際上譽(yù)為“吳方法”的數(shù)學(xué)機(jī)械化方法已使中國在數(shù)學(xué)機(jī)械化領(lǐng)域處于國際領(lǐng)先地位，而正如吳文俊教授本人所說：“幾何定理證明的機(jī)械化問題，從思維到方法，至少在宋元時(shí)代就有蛛絲馬跡可尋，”他的工作“主要是受中國古代數(shù)學(xué)的啟發(fā)”?！皡欠椒ā保侵袊糯鷶?shù)學(xué)算法化、機(jī)械化精髓的發(fā)揚(yáng)光大。

計(jì)算機(jī)影響下算法傾向的增長，自然也引起一些外國學(xué)者對中國古代數(shù)學(xué)中算法傳統(tǒng)的興趣。早在上世紀(jì)70年代初，著名的計(jì)算機(jī)科學(xué)家D.E.Knuth就呼吁人們關(guān)注古代中國和印度的算法?5?。多年來這方面的研究取得了一定進(jìn)展，但總的來說還亟待加強(qiáng)。眾所周知，中國古代文化包括數(shù)學(xué)是通過著名的絲綢之路向西方傳播的，而阿拉伯地區(qū)是這種文化傳播的重要中轉(zhuǎn)站?，F(xiàn)存有些阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)與天文著作中包含有一定的中國數(shù)學(xué)與天文學(xué)知識，如著名的阿爾·卡西《算術(shù)之鑰》一書中有相當(dāng)數(shù)量的數(shù)學(xué)問題顯示出直接或間接的中國來源，而根據(jù)阿爾·卡西本人記述，他所工作的天文臺(tái)中就有不少來自中國的學(xué)者。

然而長期以來由于“西方中心論”特別是“希臘中心論”的影響以及語言文字方面的障礙，有關(guān)資料還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有得到發(fā)掘。正是為了充分揭示東方數(shù)學(xué)與歐洲數(shù)學(xué)復(fù)興的關(guān)系，吳文俊教授特意從他榮獲的國家最高科學(xué)獎(jiǎng)中撥出?？畛闪⒘恕皡俏目?shù)學(xué)與天文絲路基金”，鼓勵(lì)支持年輕學(xué)者深入開展這方面的研究，這是具有深遠(yuǎn)意義之舉。

研究科學(xué)的歷史，其重要意義之一就是從歷史的發(fā)展中獲得借鑒和汲取教益，促進(jìn)現(xiàn)實(shí)的科學(xué)研究，通俗地說就是“古為今用”。吳文俊對此有精辟的論述，他說：“假如你對數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展，對一個(gè)領(lǐng)域的發(fā)生和發(fā)展，對一個(gè)理論的興旺和衰落，對一個(gè)概念的來龍去脈，對一種重要思想的產(chǎn)生和影響等這許多歷史因素都弄清了，我想，對數(shù)學(xué)就會(huì)了解得更多，對數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀就會(huì)知道得更清楚、更深刻，還可以對數(shù)學(xué)的未來起一種指導(dǎo)作用，也就是說，可以知道數(shù)學(xué)究竟應(yīng)該按怎樣的方向發(fā)展可以收到最大的效益”。數(shù)學(xué)機(jī)械化理論的創(chuàng)立，正是這種古為今用原則的碩果。我國科學(xué)技術(shù)的偉大復(fù)興，呼喚著更多這樣既有濃郁的中國特色、又有鮮明時(shí)代氣息的創(chuàng)新。

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