《術(shù)數(shù)》與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)

內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 羅見今

中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在歐洲文藝復(fù)興前的相當(dāng)長的歷史時(shí)期中創(chuàng)造了領(lǐng)先世界的光輝成就，但是，在隨后的幾個世紀(jì)，這樣的狀態(tài)卻逐步發(fā)生了變化，到近代已明顯超脫與所謂主流之外了。探討數(shù)學(xué)史上這一重大問題時(shí)，不能不涉及到對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展有重大影響的“術(shù)數(shù)”及其哲學(xué)思想背景。

術(shù)數(shù)又稱數(shù)術(shù)（數(shù)為命運(yùn)、氣數(shù)，術(shù)為方法），指用種種方術(shù)觀察自然或社會的現(xiàn)象，來推測國家或個人的氣數(shù)和命運(yùn)?！端膸烊珪氛f：“術(shù)數(shù)之興，多在泰漢以后，其要旨不出于陰陽五行、生尅制化，實(shí)皆易之支派，傅以雜說耳。”早期術(shù)數(shù)包括天文、歷譜、五行、蕃龜、雜占、形法；后世術(shù)數(shù)泛指特定應(yīng)用技術(shù)，如星占、卜籃、六壬、奇門遁甲、命相、拆字、起課、堪輿、占候等，包含卻超越數(shù)學(xué)所研究的范疇。南宋秦九韶在《數(shù)書九章》序中給數(shù)術(shù)下了一定義，包括了不少數(shù)學(xué)內(nèi)容，也提到蕃占、河圖、洛書、八卦、九疇、太乙、六壬、奇門遁甲等；本文就其中幾點(diǎn)多少與數(shù)學(xué)相關(guān)的問題略抒淺見。

《左傳》說：“龜，象也；筮，數(shù)也；物生而后有象，象而后有滋，滋而后有數(shù)?！币笊糖霸嫉那罢最A(yù)測發(fā)展到較完備階段，形成了周代《易經(jīng)》八卦六十四卦體系，它是我國最古老的一部占筮用書，為象數(shù)之宗，也是術(shù)數(shù)之鼻祖。《易經(jīng)》記錄了我們祖先對各種客觀情況所作出的兆象和吉兇判斷，反映了古人在同社會和自然界的斗爭中，為了掌握其發(fā)展變化的規(guī)律而求助于卦象預(yù)示的主觀思想；同時(shí)也直接或曲折反映了他們對客觀事物的觀察和認(rèn)識，記載了他們實(shí)踐活動的經(jīng)驗(yàn)、感受和評價(jià)，表現(xiàn)了他們對周圍世界進(jìn)行抽象和概括的愿望，其中也包含了相當(dāng)多的樸素唯物主義和歷史辯證觀點(diǎn)，更包含的古智者對宇宙根本規(guī)律的終極探討。

《易經(jīng)》是中國道學(xué)史哲學(xué)史上第一部經(jīng)典著作，位居六經(jīng)之首。從科學(xué)史的角度來看，它的內(nèi)容含有古代天文、數(shù)學(xué)、音律、醫(yī)理、生物等方面的知識；它的哲學(xué)體系對科學(xué)思想發(fā)展影響很大，所以在科學(xué)思想發(fā)展史上占有重要地位。

在中國數(shù)學(xué)史上，不少數(shù)學(xué)家都受到《易經(jīng)》及玄學(xué)的熏淘，如三世紀(jì)大數(shù)學(xué)家劉徽說：‘‘古者包犧氏始畫八卦，以通神明之德，以類萬物之情；作九九術(shù)，以合六交爻之變……于是建歷紀(jì)、協(xié)律呂，用稽道原，然后兩儀四象精微之氣，可得而效焉”。

又如十三世紀(jì)大數(shù)學(xué)家秦九韶說：“爰自河圖、洛書，圃發(fā)秘奧，八卦、九疇，錯綜精微，極而至于大衍、皇極之用，而人事之變無不該，鬼神之情莫能隱矣?！碧岬叫g(shù)數(shù)的正史不乏其例。注意到上邊引用的兩段都是在一書的序言里作為總綱或指導(dǎo)思想提出的，因而在研究數(shù)學(xué)思想史時(shí)，周易術(shù)數(shù)是難以輕易帶過的問題。

中國算術(shù)史上不少學(xué)者博通經(jīng)史，對易學(xué)、數(shù)術(shù)普遍有研究。（舊題）漢徐岳撰的《數(shù)術(shù)記遺》，主要是數(shù)術(shù)著作。北周甄孿撰、唐李淳風(fēng)注《五經(jīng)算術(shù)》，以數(shù)理講解經(jīng)義，其中有《易策數(shù)法》的名目。宋沈括《夢溪筆談》中討論過揲蓍之法。由于程朱理學(xué)的推重，象數(shù)內(nèi)容在宋以后數(shù)學(xué)書中俯拾皆是。清屈曾發(fā)《九數(shù)通考》十三卷卷首就指出：“(河)圖（洛）書為數(shù)學(xué)之源”，……凡此種種，科學(xué)史研究無法回避，應(yīng)予正視。

術(shù)數(shù)與象數(shù)神秘主義不是科學(xué)，其根源在于“伏羲黃帝老莊”數(shù)千年的修道實(shí)踐造就的道文化土壤。在研究領(lǐng)域里術(shù)數(shù)與西方的數(shù)學(xué)有明顯區(qū)別，但在歷史上，它確曾處于舉足輕重的地位，與天文、歷法、數(shù)學(xué)相提并論?？梢哉f，昔日之術(shù)數(shù)，猶今日之科學(xué)。

“數(shù)術(shù)者，皆明堂義和史卜之職也?！睗h代除三公外最髙級別的官員祿兩千石，其中就有“二千石博問術(shù)士”，遇到地震等災(zāi)變時(shí)，以備皇帝咨詢。《史記》記載：“孝武帝時(shí)聚會占家問之：某日可取婦乎？五行家曰可，堪輿（按即風(fēng)水）家曰不可。”看來他們有權(quán)在皇帝面前展開自由爭論。光武帝更重用術(shù)士，提拔擅長圖讖的王梁、孫咸作大司空、大司馬的高官。魏晉以來，形成了等級森嚴(yán)的“九品中正制”，隋唐時(shí)代國子寺設(shè)研究純數(shù)學(xué)的算學(xué)博士，品秩最低，為從九品；而在太常寺中卻有太卜署，太醫(yī)、太卜等術(shù)數(shù)家皆設(shè)博士。元代集賢院除管國子監(jiān)外，還管道教陰陽術(shù)數(shù)，有陰陽教授之設(shè)。在不少封建帝王的眼中，操占卜、星相一類方術(shù)之士的地位，一般高于持籌的算家。

由于這些原因，術(shù)數(shù)著作在古籍中占相當(dāng)比例。據(jù)《中國叢書總錄》、《四庫全書》及《販書偶記》的記載，我國現(xiàn)有傳本古書共63853種，其中易類1514種占2.3%，歷算類657種占1.03%。在圖書分類中術(shù)數(shù)類與易類分開，數(shù)量亦相當(dāng)可觀。李約瑟說：“如果有一個漢學(xué)家兼通數(shù)學(xué)，那末，通過對隱晦難解的中國中世紀(jì)占卜術(shù)著作的探索，他在這方面是會大有收獲的?！辫b于有關(guān)研究尚未展開，這番預(yù)言令人鼓舞。當(dāng)然，這種工作帶有披沙淘金的性質(zhì)，要從浩如煙海的材料中匯總有價(jià)值的內(nèi)容并非易舉。

傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思想深深植根于古代文化之中，成為不可分割的組成部分，應(yīng)當(dāng)從古代思想文化的源流中去搞清它的來龍去脈；術(shù)數(shù)作為易學(xué)的支派，與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)并行，貫穿于整個古代文化史，它產(chǎn)生的影響不可忽視。恩格斯說：“我們必須重新進(jìn)行艱苦的研究，才可以知道基督教最初是什么樣子?！睂πg(shù)數(shù)的研究也應(yīng)取這種態(tài)度。占星術(shù)之于天文，煉金術(shù)之于化學(xué)，數(shù)術(shù)之于數(shù)學(xué)，在人類歷史上道學(xué)與科學(xué)相伴而生，甚至很大程度可以指導(dǎo)科學(xué)——這類現(xiàn)象值得深入研究，不能采取簡單否定的態(tài)度。

那么，很自然地會產(chǎn)生這樣的問題：數(shù)術(shù)對類西方的純數(shù)學(xué)發(fā)展是否有促進(jìn)作用？數(shù)術(shù)之中有無純數(shù)學(xué)內(nèi)容或類西方的數(shù)學(xué)思想的萌芽？

讓我們先回顧古希臘時(shí)期。數(shù)學(xué)家們篤信宗教，認(rèn)為天神掌管世上一切事務(wù)。畢達(dá)哥拉斯派宣稱“萬物皆數(shù)也”，把10看作理想的數(shù)，從而推論出移動的天體必定有10個。他們特別重視1，2，3，4這四個數(shù)，叫作tetractys(譯作“四象”），而且1+2+3+4=10，似乎正滿足了一種神學(xué)上審美的需要。他們創(chuàng)立了土、氣、火、水四元素說，認(rèn)為萬物由四元素構(gòu)成。柏拉圖說：“祌永遠(yuǎn)按幾何規(guī)律辦事”，顯然受到神學(xué)影響。

古希臘學(xué)者的數(shù)字神秘主義導(dǎo)致的一個結(jié)果，是使他們注意分析隱含干數(shù)本身的性質(zhì)，從而發(fā)展起研究素?cái)?shù)為中心的整數(shù)論；而在中國，易學(xué)象數(shù)系統(tǒng)卻沿著另一條路線，把學(xué)者們引向分析數(shù)學(xué)(或元素）在空間（平面）上的相對位置關(guān)系，它們的排列、組合、對應(yīng)、對稱、旋轉(zhuǎn)、反射等關(guān)系，從中尋找種種特殊的聯(lián)系，給出合理的解釋。

術(shù)數(shù)家的手段姑且不論，就純數(shù)學(xué)而言，這確乎導(dǎo)向了組合論的領(lǐng)域，即令是原始的思想萌芽也罷。例如，現(xiàn)代組合學(xué)一本有影響的著作中把這門學(xué)科的起源歸于一個古老記載：公元前2200年大禹路過洛水時(shí)，觀察到水中浮出的烏龜背上的數(shù)字表——宋人稱之為洛書。

在古希臘，柏拉圖的學(xué)生亞里士多德將四元素說發(fā)展成一完整的體系，一如中國的五行說。他研究了土氣火水四元素冷與熱、干與濕、浮與重等性質(zhì)，分析一般物體所含這四元素的比例，從而確定該物體的固體性、硬度、溫度、粗糙性以及運(yùn)動方式（浮沉等）。這樣看來，四元素說側(cè)重性質(zhì)分析，五行說側(cè)重位置所包含的意義。這種植根于哲學(xué)思想背景上的位置模式對于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的位值制、“方程”術(shù)、開方術(shù)、賈憲三角形、天元術(shù)、四元術(shù)等在平面上用算籌布算有何影響？這是值得進(jìn)一步探討的課題。

神奇的九宮圖

在道學(xué)的、數(shù)術(shù)的著作中，我們確實(shí)可以發(fā)現(xiàn)古人在位置模式支配下所進(jìn)行的配置的努力，它同樣也可以得出很多數(shù)學(xué)成果。宋司馬光（1039年進(jìn)士）《潛虛》中十字形的“氣圖”，大體就是天地生成數(shù)圖，或河圖。他的“體圖”、“性圖”、“名圖”分別呈三角形、方形與圓形?！绑w圖”數(shù)字分十層，依次標(biāo)明王、牧、公、岳、牧、率、侯、卿、大夫、士、庶人十等級。它的數(shù)字編碼方式是我們在代數(shù)學(xué)里常遇到的，這種復(fù)式編碼大概是世界上最早的記錄。

我們再以洛書為例?，F(xiàn)在它被稱作3階幻方，每行、每列和每條主對角線都有同樣的和15，n階幻方和為N/2（N²+1）。洛書“在整個歷史上，對許多人將發(fā)揮強(qiáng)有力的魅惑：連最簡單的算術(shù)都成了一件令人驚異的事情”。

幻方從一開始就被同超前和神奇的事物聯(lián)系在一起，阿拉伯人al-Buni(？-1225)和歐洲人H.C.Agrippa(1533)的幻方著作都是如此，后者把幻方同占星術(shù)聯(lián)系起來。在我國先秦文獻(xiàn)《周易乾鑿度》中說：“太乙取其數(shù)以行九宮，四正四維皆合于十五”，據(jù)此并參照鄭玄注可以畫成九宮圖，其中七條虛線表示太乙神巡行九宮所依次序，八條實(shí)線表示“四正四維皆合于十五”。先秦兩漢著作中關(guān)于河圖、洛書、九宮、明堂、洪范九疇（劉歆以為洪范即洛書）的傳說有不少記載，如果從“比較神話學(xué)”的角度進(jìn)行分析，可以作出一種假設(shè)：古代巫人在龜甲或（龍）骨板上用火灼出窩槽，爆見吉祥之兆，有時(shí)這種窩槽的排列具有某種特殊的意義，令人驚異，于是成為世代相傳的故事和神話。換而言之，河圖洛書可能是原始時(shí)代骨卜的形象化、藝術(shù)化的名稱。當(dāng)然，“河洛”是中國文化史上一大問題，討論很多。

《尚書?洪范》九疇的中心即為洛書，兩漢盛行的圖讖之學(xué)以河洛作占卜的依據(jù)，奇門遁甲也與九宮相關(guān)，這些易學(xué)所以流傳千百年，筆者以為其中一個原因，是利用了九宮數(shù)令人驚異的數(shù)學(xué)性質(zhì)。在歷史上洛書進(jìn)而變成了純數(shù)學(xué)問題，宋楊輝（1275)即給出了3—10階幻方，現(xiàn)代它仍然是組合學(xué)研究的課題，廣義幻方、幻體、雙隨機(jī)矩陣等都由它推廣而來，確乎是“易道廣大，無所不包”了。

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