春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期不僅是中華文明從奴隸社會(huì)向封建社會(huì)過(guò)渡的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn),也是科學(xué)技術(shù)與思想文化大發(fā)展的輝煌時(shí)期。在這一歷史背景下,一種看似簡(jiǎn)單卻意義深遠(yuǎn)的計(jì)算工具——算籌,悄然登上了古代數(shù)學(xué)的舞臺(tái),成為了推動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展、促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步的重要力量。本文將帶您穿越千年時(shí)光,探尋春秋戰(zhàn)國(guó)算籌的奧秘,感受其在古代數(shù)學(xué)史上的獨(dú)特魅力。
一、算籌的誕生:智慧與需求的結(jié)晶
在遙遠(yuǎn)的春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期,隨著農(nóng)業(yè)、商業(yè)的蓬勃發(fā)展以及天文、歷法等領(lǐng)域?qū)?fù)雜計(jì)算需求的日益增長(zhǎng),一種新型的計(jì)算工具應(yīng)運(yùn)而生——算籌。算籌,顧名思義,是以籌(小棍子或竹片)為計(jì)算載體的數(shù)學(xué)工具。它雖不起眼,卻蘊(yùn)含著古人深邃的數(shù)學(xué)智慧和對(duì)精準(zhǔn)計(jì)算的執(zhí)著追求。
據(jù)史書(shū)記載和考古發(fā)現(xiàn),算籌最早可追溯至新石器時(shí)代,但真正成熟并廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)運(yùn)算,則是在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期。這一時(shí)期,算籌的制作工藝日益精湛,從最初的自然物如小竹棍,逐漸發(fā)展到用竹子、木頭、獸骨、象牙乃至金屬等材質(zhì)精制而成。算籌的長(zhǎng)度和粗細(xì)也逐漸統(tǒng)一,便于攜帶和操作,成為了當(dāng)時(shí)人們普遍使用的計(jì)算工具。
二、算籌的魅力:簡(jiǎn)單中的復(fù)雜邏輯
算籌之所以能在古代數(shù)學(xué)史上占據(jù)重要地位,得益于其獨(dú)特的計(jì)數(shù)和運(yùn)算方式。在算籌計(jì)數(shù)法中,古人巧妙地利用縱橫兩種排列方式來(lái)表示不同的數(shù)字。1至5的數(shù)字直接以相應(yīng)數(shù)量的算籌縱向或橫向排列表示;而6至9的數(shù)字,則通過(guò)上下兩層算籌組合而成,既直觀(guān)又易于理解。對(duì)于多位數(shù),個(gè)位用縱式,十位用橫式,百位再用縱式,以此類(lèi)推,遇零則置空。這種計(jì)數(shù)法不僅遵循了十進(jìn)位制原則,還體現(xiàn)了位值制的精妙之處,即每個(gè)數(shù)碼所表示的數(shù)值取決于其在記數(shù)中的位置。
算籌的運(yùn)算同樣令人嘆為觀(guān)止。借助這一簡(jiǎn)單工具,古人不僅能進(jìn)行加減乘除等基本四則運(yùn)算,還能解決開(kāi)方、二次三次方程等復(fù)雜問(wèn)題。在《九章算術(shù)》等古代數(shù)學(xué)著作中,我們可以窺見(jiàn)古人用算籌進(jìn)行復(fù)雜運(yùn)算的詳細(xì)記載和精妙方法。這些運(yùn)算不僅展示了古代數(shù)學(xué)的發(fā)達(dá)程度,也體現(xiàn)了算籌作為計(jì)算工具的強(qiáng)大功能和廣泛應(yīng)用。
三、算籌的影響:推動(dòng)數(shù)學(xué)與社會(huì)的進(jìn)步
算籌的廣泛應(yīng)用不僅促進(jìn)了古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,也深刻影響了社會(huì)的各個(gè)方面。在農(nóng)業(yè)領(lǐng)域,算籌幫助農(nóng)民精準(zhǔn)計(jì)算土地面積和作物產(chǎn)量,為按田畝收稅提供了科學(xué)依據(jù);在商業(yè)領(lǐng)域,算籌則成為商人進(jìn)行貨幣換算和賬目管理的得力助手。此外,在天文歷法、工程技術(shù)等領(lǐng)域,算籌也發(fā)揮了不可替代的作用。
更為重要的是,算籌的使用和普及培養(yǎng)了古人嚴(yán)密的邏輯思維和精確的計(jì)算能力,為后世數(shù)學(xué)乃至科學(xué)的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。隨著時(shí)代的變遷,算籌逐漸被算盤(pán)等更為先進(jìn)的計(jì)算工具所取代,但其在中國(guó)古代數(shù)學(xué)史上的地位和影響卻永遠(yuǎn)不可磨滅。
四、算籌的啟示:智慧與傳承的力量
回顧春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的算籌發(fā)展歷程,我們不禁為古人的智慧和創(chuàng)造力所折服。在那個(gè)科技相對(duì)落后的時(shí)代,古人憑借對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)和對(duì)精準(zhǔn)計(jì)算的追求,創(chuàng)造出了如此精妙絕倫的計(jì)算工具。這不僅是對(duì)人類(lèi)智慧的一次偉大展現(xiàn),也是對(duì)后世的一種深刻啟示——無(wú)論時(shí)代如何變遷,對(duì)知識(shí)的追求和對(duì)創(chuàng)新的渴望始終是推動(dòng)社會(huì)進(jìn)步的重要力量。
同時(shí),算籌的傳承和發(fā)展也告訴我們一個(gè)道理:任何一項(xiàng)偉大的發(fā)明或創(chuàng)造都不是孤立存在的,它們都是在前人智慧的基礎(chǔ)上不斷積累和創(chuàng)新的結(jié)果。因此,我們應(yīng)該珍惜并傳承這些寶貴的文化遺產(chǎn),讓它們?cè)谛碌臅r(shí)代背景下繼續(xù)發(fā)光發(fā)熱,為人類(lèi)的進(jìn)步和發(fā)展貢獻(xiàn)新的力量。
春秋戰(zhàn)國(guó)的算籌,作為古代數(shù)學(xué)的重要工具,不僅見(jiàn)證了古代中國(guó)科技的輝煌成就,也承載了古人對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)和追求。在今天這個(gè)科技日新月異的時(shí)代里,讓我們?cè)俅位赝嵌螝v史長(zhǎng)河中的璀璨星光——算籌之光它不僅照亮了古代數(shù)學(xué)之路更激勵(lì)著我們?cè)谔剿魑粗?、追求真理的道路上勇往直前?/p>
算籌是中國(guó)古代的計(jì)算工具,真正意義上的中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系形成于自西漢至南北朝的三、四百年期間。
《算數(shù)書(shū)》成書(shū)于西漢初年,是傳世的中國(guó)最早的數(shù)學(xué)專(zhuān)著,它是1984年由考古學(xué)家在湖北江陵張家山出土的漢代竹簡(jiǎn)中發(fā)現(xiàn)的。
《周髀算經(jīng)》編纂于西漢末年,它雖然是一本關(guān)于“蓋天說(shuō)”的天文學(xué)著作,但是包括兩項(xiàng)數(shù)學(xué)成就——(1)勾股定理的特例或普遍形式(“若求邪至日者,以日下為句,日高為股,句股各自乘,并而開(kāi)方除之,得邪至日?!薄@是中國(guó)最早關(guān)于勾股定理的書(shū)面記載);(2)測(cè)太陽(yáng)高或遠(yuǎn)的“陳子測(cè)日法”。
《九章算術(shù)》在中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中占有非常重要的地位。
它經(jīng)過(guò)許多人整理而成,大約成書(shū)于東漢時(shí)期。
全書(shū)共收集了246個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題并且提供其解法,主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、各種面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測(cè)量的計(jì)算等。
在代數(shù)方面,《九章算術(shù)》在世界數(shù)學(xué)史上最早提出負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則;現(xiàn)在中學(xué)講授的線(xiàn)性方程組的解法和《九章算術(shù)》介紹的方法大體相同。
注重實(shí)際應(yīng)用是《九章算術(shù)》的一個(gè)顯著特點(diǎn)。
該書(shū)的一些知識(shí)還傳播至印度和 *** ,甚至經(jīng)過(guò)這些地區(qū)遠(yuǎn)至歐洲。
九章算術(shù)》標(biāo)志以籌算為基礎(chǔ)的中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的正式形成。
中國(guó)古代數(shù)學(xué)在三國(guó)及兩晉時(shí)期側(cè)重于理論研究,其中以趙爽與劉徽為主要代表人物。
趙爽學(xué)術(shù)成就體現(xiàn)于對(duì)《周髀算經(jīng)》的闡釋。
在《勾股圓方圖注》中,他還用幾何方法證明了勾股定理,其實(shí)這已經(jīng)體現(xiàn)“割補(bǔ)原理”的方法。
用幾何方法求解二次方程也是趙爽對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的一大貢獻(xiàn)。
三國(guó)時(shí)期魏人劉徽則注釋了《九章算術(shù)》,其著作《九章算術(shù)注》不僅對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo),而且系統(tǒng)地闡述了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理,并且多有創(chuàng)造。
其發(fā)明的“割圓術(shù)”(圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積),為圓周率的計(jì)算奠定了基礎(chǔ),同時(shí)劉徽還算出圓周率的近似值——“3927/1250(3.1416)”。
他設(shè)計(jì)的“牟合方蓋”的幾何模型為后人尋求球體積公式打下重要基礎(chǔ)。
在研究多面體體積過(guò)程中,劉徽運(yùn)用極限方法證明了“陽(yáng)馬術(shù)”。
另外,《海島算經(jīng)》也是劉徽編撰的一部數(shù)學(xué)論著。
南北朝是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展時(shí)期,計(jì)有《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》等算學(xué)著作問(wèn)世。
祖沖之、祖暅父子的工作在這一時(shí)期最具代表性。
他們著重進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理,在前人劉徽《九章算術(shù)注》的基礎(chǔ)上前進(jìn)了一步。
根據(jù)史料記載,其著作《綴術(shù)》(已失傳)取得如下成就:①圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第六位,得到3.1415926<π<3.1415927,并求得π的約率為22/7,密率為355/113,其中密率是分子分母在1000以?xún)?nèi)的最佳值;歐洲直到16世紀(jì)德國(guó)人鄂圖(Otto)和荷蘭人安托尼茲(Anthonisz)才得出同樣結(jié)果。
②祖暅在劉徽工作的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出球體體積公式,并提出二立體等高處截面積相等則二體體積相等(“冪勢(shì)既同則積不容異”)定理;歐洲17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利(Cavalieri)才提出同一定理……祖氏父子同時(shí)在天文學(xué)上也有一定貢獻(xiàn)。
隋唐時(shí)期的主要成就在于建立中國(guó)數(shù)學(xué)教育制度,這大概主要與國(guó)子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館及科舉制度有關(guān)。
在當(dāng)時(shí)的算學(xué)館《算經(jīng)十書(shū)》成為專(zhuān)用教材對(duì)學(xué)生講授。
《算經(jīng)十書(shū)》收集了《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》等10部數(shù)學(xué)著作。
所以當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)教育制度對(duì)繼承古代數(shù)學(xué)經(jīng)典是有積極意義的。
公元600年,隋代劉焯在制訂《皇極歷》時(shí),在世界上最早提出了等間距二次內(nèi)插公式;唐代僧一行在其《大衍歷》中將其發(fā)展為不等間距二次內(nèi)插公式。
從公元11世紀(jì)到14世紀(jì)的宋、元時(shí)期,是以籌算為主要內(nèi)容的中國(guó)古代數(shù)學(xué)的鼎盛時(shí)期,其表現(xiàn)是這一時(shí)期涌現(xiàn)許多杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。
中國(guó)古代數(shù)學(xué)以宋、元數(shù)學(xué)為最高境界。
在世界范圍內(nèi)宋、元數(shù)學(xué)也幾乎是與 *** 數(shù)學(xué)一道居于領(lǐng)先集團(tuán)的。
賈憲在《黃帝九章算法細(xì)草》中提出開(kāi)任意高次冪的“增乘開(kāi)方法”,同樣的方法至1819年才由英國(guó)人霍納發(fā)現(xiàn);賈憲的二項(xiàng)式定理系數(shù)表與17世紀(jì)歐洲出現(xiàn)的“巴斯加三角”是類(lèi)似的。
遺憾的是賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》書(shū)稿已佚。
秦九韶是南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家。
1247年,他在《數(shù)書(shū)九章》中將“增乘開(kāi)方法”加以推廣,論述了高次方程的數(shù)值解法,并且例舉20多個(gè)取材于實(shí)踐的高次方程的解法(最高為十次方程)。
16世紀(jì)意大利人菲爾洛才提出三次方程的解法。
另外,秦九韶還對(duì)一次同余式理論進(jìn)行過(guò)研究。
李冶于1248年發(fā)表《測(cè)圓海鏡》,該書(shū)是首部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”(一元高次方程)的著作,在數(shù)學(xué)史上具有里程碑意義。
尤其難得的是,在此書(shū)的序言中,李冶公開(kāi)批判輕視科學(xué)實(shí)踐活動(dòng),將數(shù)學(xué)貶為“賤技”、“玩物”等長(zhǎng)期存在的士風(fēng)謬論。
公元1261年,南宋楊輝(生卒年代不詳)在《詳解九章算法》中用“垛積術(shù)”求出幾類(lèi)高階等差級(jí)數(shù)之和。
公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了“九歸捷法”,介紹了籌算乘除的各種運(yùn)算法。
公元1280年,元代王恂、郭守敬等制訂《授時(shí)歷》時(shí),列出了三次差的內(nèi)插公式。
郭守敬還運(yùn)用幾何方法求出相當(dāng)于現(xiàn)在球面三角的兩個(gè)公式。
公元1303年,元代朱世杰(生卒年代不詳)著《四元玉鑒》,他把“天元術(shù)”推廣為“四元術(shù)”(四元高次聯(lián)立方程),并提出消元的解法,歐洲到公元1775年法國(guó)人別朱(Bezout)才提出同樣的解法。
朱世杰還對(duì)各有限項(xiàng)級(jí)數(shù)求和問(wèn)題進(jìn)行了研究,在此基礎(chǔ)上得出了高次差的內(nèi)插公式,歐洲到公元1670年英國(guó)人格里高利(Gregory)和公元1676一1678年間牛頓(Newton)才提出內(nèi)插法的一般公式。
14世紀(jì)中、后葉明王朝建立以后,統(tǒng)治者奉行以八股文為特征的科舉制度,在國(guó)家科舉考試中大幅度消減數(shù)學(xué)內(nèi)容,于是自此中國(guó)古代數(shù)學(xué)便開(kāi)始呈現(xiàn)全面衰退之勢(shì)。
明代珠算開(kāi)始普及于中國(guó)。
1592年程大位編撰的《直指算法統(tǒng)宗》是一部集珠算理論之大成的著作。
但是有人認(rèn)為,珠算的普及是抑制建立在籌算基礎(chǔ)之上的中國(guó)古代數(shù)學(xué)進(jìn)一步發(fā)展的主要原因之一。
由于演算天文歷法的需要,自16世紀(jì)末開(kāi)始,來(lái)華的西方傳教士便將西方一些數(shù)學(xué)知識(shí)傳入中國(guó)。
數(shù)學(xué)家徐光啟向意大利傳教士利馬竇學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)知識(shí),而且他們還合譯了《幾何原本》的前6卷(1607年完成)。
徐光啟應(yīng)用西方的邏輯推理方法論證了中國(guó)的勾股測(cè)望術(shù),因此而撰寫(xiě)了《測(cè)量異同》和《勾股義》兩篇著作。
鄧玉函編譯的《大測(cè)》〔2卷〕、《割圓八線(xiàn)表》〔6卷〕和羅雅谷的《測(cè)量全義》〔10卷〕是介紹西方三角學(xué)的著作。
此外在數(shù)學(xué)方面鮮有較大成就取得,中國(guó)古代數(shù)學(xué)自此便衰落了。
數(shù)學(xué)知識(shí)的原始積累
數(shù)學(xué)知識(shí)伴隨著人類(lèi)文明的產(chǎn)生而起源,并率先在幾個(gè)文明古國(guó)開(kāi)始了漫長(zhǎng)的原始積累過(guò)程,人類(lèi)的祖先為我們留下了珍貴的、可供研究的原始資料,最著名的古埃及象形文字紙草書(shū)和巴比倫楔形文字泥板書(shū),較為集中地反映了古埃及數(shù)學(xué)和巴比的水平,它們被視為人類(lèi)早期數(shù)學(xué)知識(shí)積累的代表。
古埃及紙草書(shū),是用尼羅河流域沼澤地水生植物的莖皮壓制、粘連成紙草卷,用天然涂料液書(shū)寫(xiě)而成的。
有兩份紙草書(shū)直接書(shū)寫(xiě)著數(shù)學(xué)內(nèi)容。
一份叫做“莫斯科紙草”,大約出自公元前1850年左右,它包括25個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。
這份紙草書(shū)于1893年被俄國(guó)人戈蘭尼采夫買(mǎi)得,也稱(chēng)之為“戈蘭尼采夫紙草”,現(xiàn)藏莫斯科美術(shù)博物館。
另一份叫做“萊因特紙草”,大約成書(shū)于公元前1650年左右,開(kāi)頭寫(xiě)有:“獲知一切奧秘的指南”的字樣,接著是作者阿默士從更早的文獻(xiàn)中抄下來(lái)的85個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。
這份紙草書(shū)于1858年被格蘭人萊因特購(gòu)得,后為博物館收藏。
這兩份草書(shū)是我們研究古埃及數(shù)學(xué)的重要資料,其內(nèi)容豐富,記述了古埃及的記數(shù)法、整數(shù)四則運(yùn)算、單位分?jǐn)?shù)的獨(dú)特用法、試位法、求幾何圖形的面積、體積問(wèn)題,以及數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活初中中的應(yīng)用問(wèn)題。
古巴比倫泥板書(shū),是用截面呈三角形的利器作筆,在將干未干的膠泥板上刻寫(xiě)而成的,由于字體為楔形筆劃,故稱(chēng)之為楔形文字泥板,從19世紀(jì)前期至今,相繼出土了這種泥板有50萬(wàn)塊之多。
它們分別屬于公元前2100年蘇美爾文化末期,公元前1790年至公元前1600年間漢莫拉比時(shí)代和公元前600年至公元300年間新巴比倫帝國(guó)及隨后的波斯、塞流西得時(shí)代。
其中,大約有300至400塊是數(shù)學(xué)泥板,數(shù)學(xué)泥板中又以數(shù)表居多,據(jù)信這些數(shù)學(xué)表是用來(lái)運(yùn)算和解題的。
這些古老的泥板,現(xiàn)在散藏于世界各地許多博物館,并且被一一編號(hào),成為我們研究巴比倫數(shù)學(xué)最可靠的資料。
巴比倫數(shù)學(xué)從整體上講比古埃及數(shù)學(xué)高明,古巴比倫人采用60進(jìn)位制記數(shù)法,并計(jì)算出倒數(shù)表、平方表、立方表、平方根表和立方根表,其中2的平方根近似為1.414213...。
巴比倫的代數(shù)有相當(dāng)水平,他們用語(yǔ)言文字?jǐn)⑹龇匠虇?wèn)題及其解法,常用特殊的“長(zhǎng)”、“寬”、“面積”等字眼表示未知量,除求解二次、三次方程的問(wèn)題之外,也有一些數(shù)論性質(zhì)的問(wèn)題。
巴比倫的幾何似乎沒(méi)有古埃及的幾何那么重要,只是收羅了一些計(jì)算簡(jiǎn)單圖形的面積、體積的法則,也許他們只是在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)才搞點(diǎn)幾何。
此外,巴比倫數(shù)學(xué)中有很明顯的商業(yè)、農(nóng)業(yè)和天文的應(yīng)用背景。
我們可以說(shuō),在人類(lèi)早期數(shù)學(xué)知識(shí)積累過(guò)程中,由于計(jì)數(shù)物件的需要,產(chǎn)生了自然數(shù),隨著記數(shù)法的產(chǎn)生和發(fā)展,逐漸形成了運(yùn)算,導(dǎo)致算術(shù)的產(chǎn)生;由于計(jì)量實(shí)物的需要,產(chǎn)生了簡(jiǎn)單的幾何,隨著農(nóng)業(yè)、建筑業(yè)、手工業(yè)及天文觀(guān)測(cè)的發(fā)展,逐漸積累了有關(guān)這些的基本性質(zhì)和相互關(guān)系的經(jīng)驗(yàn)知識(shí),于是幾何學(xué)萌芽了;由于商業(yè)計(jì)算、工程計(jì)算、天文的需要,在算術(shù)計(jì)算技巧的基礎(chǔ)上,逐漸積累起代數(shù)學(xué)基本知識(shí)。
但是,在這個(gè)階段上,直到公元前6世紀(jì),無(wú)論如何也找不到我們今天所謂的“理性的數(shù)學(xué)”,而只是一種初級(jí)的“經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)”。
表示一個(gè)多位數(shù)字時(shí),采用十進(jìn)位值制,各位值的數(shù)目從左到右排列,縱橫相間[法則是:一縱十橫,百立千僵,千、十相望,萬(wàn)、百相當(dāng)],并以空位表示零。
算籌為加、減、乘、除等運(yùn)算建立起良好的條件。
在幾何學(xué)方面《史記.夏本記》中說(shuō)夏禹治水時(shí)已使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測(cè)量工具,并早已發(fā)現(xiàn)「勾三股四弦五」這個(gè)勾股定理[西方稱(chēng)畢氏定理]的特例。
戰(zhàn)國(guó)時(shí)期,齊國(guó)人著的《考工記》匯總了當(dāng)時(shí)手工業(yè)技術(shù)的規(guī)范,包含了一些測(cè)量的內(nèi)容,并涉及到一些幾何知識(shí),例如角的概念。
戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,一些學(xué)派還總結(jié)和概括出與數(shù)學(xué)有關(guān)的許多抽象概念。
著名的有《墨經(jīng)》中關(guān)於某些幾何名詞的定義和命題,例如:「圓,一中同長(zhǎng)也」、「平,同高也」等等。
墨家還給出有窮和無(wú)窮的定義。
《莊子》記載了惠施等人的名家學(xué)說(shuō)和桓團(tuán)、公孫龍等辯者提出的論題,強(qiáng)調(diào)抽象的數(shù)學(xué)思想,例如「至大無(wú)外謂之大一,至小無(wú)內(nèi)謂之小一」、「一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭」等。
這些許多幾何概念的定義、極限思想和其他數(shù)學(xué)命題是相當(dāng)可貴的數(shù)學(xué)思想,但這種重視抽象性和邏輯嚴(yán)密性的新思想未能得到很好的繼承和發(fā)展。
此外,講述陰陽(yáng)八卦,預(yù)言吉兇的《易經(jīng)》已有了組合數(shù)學(xué)的萌芽,并反映出二進(jìn)制的思想。
漢唐初創(chuàng)時(shí)期
這一時(shí)期包括從秦漢到隋唐1000多年間的數(shù)學(xué)發(fā)展,所經(jīng)歷的朝代依次為秦、漢、魏、晉、南北朝、隋、唐。
秦漢是中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成時(shí)期。
為使不斷豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、理論化,數(shù)學(xué)方面的專(zhuān)書(shū)陸續(xù)出現(xiàn)。
西漢末年[公元前一世紀(jì)]編纂的天文學(xué)著作《周髀算經(jīng)》在數(shù)學(xué)方面主要有兩項(xiàng)成就:(1)提出勾股定理的特例及普遍形式;(2)測(cè)太陽(yáng)高、遠(yuǎn)的陳子測(cè)日法,為后來(lái)重差術(shù)的先驅(qū)。
此外,還有較復(fù)雜的開(kāi)方問(wèn)題和分?jǐn)?shù)運(yùn)算等。
《九章算術(shù)》是一部經(jīng)幾代人整理、刪補(bǔ)和修訂而成的古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作,約成書(shū)於東漢初年[公元前一世紀(jì)]。
全書(shū)采用問(wèn)題集的形式編寫(xiě),共收集了246個(gè)問(wèn)題及其解法,分屬於方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。
主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、各種面積和體積的計(jì)算、關(guān)於勾股測(cè)量的計(jì)算等。
在代數(shù)方面,《方程》章中所引入的負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則,在世界數(shù)學(xué)史上都是最早的記載;書(shū)中關(guān)於線(xiàn)性方程組的解法和現(xiàn)在中學(xué)講授的方法基本相同。
就《九章算術(shù)》的特點(diǎn)來(lái)說(shuō),它注重應(yīng)用,注重理論聯(lián)系實(shí)際,形成了以籌算為中心的數(shù)學(xué)體系,對(duì)中國(guó)古算影響深遠(yuǎn)。
它的一些成就如十進(jìn)位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和 *** ,并通過(guò)這些國(guó)家傳到歐洲,促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。
魏晉時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)在理論上有了較大的發(fā)展。
其中趙爽和劉徽的工作被認(rèn)為是中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論體系的開(kāi)端。
趙爽是中國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明的最早的數(shù)學(xué)家之一,對(duì)《周髀算經(jīng)》做了詳盡的注釋。
劉徽注釋《九章算術(shù)》,不僅對(duì)原書(shū)的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo),且在論述過(guò)程中多有創(chuàng)新,更撰寫(xiě)《海島算經(jīng)》,應(yīng)用重差術(shù)解決有關(guān)測(cè)量的問(wèn)題。
劉徽其中一項(xiàng)重要的工作是創(chuàng)立割圓術(shù),為圓周率的研究工作奠定理論基礎(chǔ)和提供了科學(xué)的算法。
南北朝時(shí)期的社會(huì)長(zhǎng)期處?kù)稇?zhàn)爭(zhēng)和分裂狀態(tài),但數(shù)學(xué)的發(fā)展依然蓬勃。
《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》就是這個(gè)時(shí)期的作品。
《孫子算經(jīng)》給出「物不知數(shù)」問(wèn)題,導(dǎo)致求解一次同余組問(wèn)題;《張丘建算經(jīng)》的「百雞問(wèn)題」引出三個(gè)未知數(shù)的不定方程組問(wèn)題。
祖沖之、祖日桓父子的工作在這一時(shí)期最具代表性,他們?cè)凇毒耪滤阈g(shù)》劉徽注的基礎(chǔ)上,將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步,成為重視數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理的典范。
他們同時(shí)在天文學(xué)上也有突出的貢獻(xiàn)。
其著作《綴術(shù)》已失傳,根據(jù)史料記載,他們?cè)跀?shù)學(xué)上主要有三項(xiàng)成就:(1)計(jì)算圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第六位,得到3.1415926 <π< 3.1415927,并求得π的約率為22/7,密率為355/113;(2)得到祖 日桓定理[冪勢(shì)既同,則積不容異]并得到球體積公式;(3)發(fā)展了二次與三次方程的解法。
唐朝在數(shù)學(xué)教育方面有長(zhǎng)足的發(fā)展。
656年國(guó)子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館,設(shè)有算學(xué)博士和助教,由太史令李淳風(fēng)等人編纂注釋《算經(jīng)十書(shū)》[包括《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》和《綴術(shù)》],作為算學(xué)館學(xué)生用的課本。
對(duì)保存古代數(shù)學(xué)經(jīng)典起了重要的作用。
宋元全盛時(shí)期
唐朝亡后,五代十國(guó)仍是軍閥混戰(zhàn)的繼續(xù),直到北宋王朝統(tǒng)一了中國(guó),農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)迅速繁榮,科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)。
從公元十一世紀(jì)到十四世紀(jì)[宋、元兩代],籌算數(shù)學(xué)達(dá)到極盛,是中國(guó)古代數(shù)學(xué)空前繁榮,碩果累累的全盛時(shí)期。
這一時(shí)期出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作,列舉如下:賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》[11世紀(jì)中葉],劉益的《議古根源》[12世紀(jì)中葉],秦九韶的《數(shù)書(shū)九章》[1247],李冶的《測(cè)圓海鏡》[1248]和《益古演段》[1259],楊輝的《詳解九章算法》[1261]、《日用算法》[1262]和《楊輝算法》[1274-1275],朱世杰的《算學(xué)啟蒙》[1299]和《四元玉鑒》[1303]等等。
高次方程數(shù)值解法; 天元術(shù)與四元術(shù),即高次方程的立法與解法,是中國(guó)數(shù)學(xué)史上首次引入符號(hào),并用符號(hào)運(yùn)算來(lái)解決建立高次方程的問(wèn)題;
大衍求一術(shù),即一次同余式組的解法,現(xiàn)在稱(chēng)為中國(guó)剩余定理;
招差術(shù)和垛積術(shù),即高次內(nèi)插法和高階等差級(jí)數(shù)求和。
另外,其他成就包括勾股形解法新的發(fā)展、解球面直角三角形的研究、縱橫圖[幻方]的研究、小數(shù)[十進(jìn)分?jǐn)?shù)]具體的應(yīng)用、珠算的出現(xiàn)等等。
這一時(shí)期民間數(shù)學(xué)教育也有一定的發(fā)展,以及中國(guó)和 *** 國(guó)家之間的數(shù)學(xué)知識(shí)的交流也得到了發(fā)展。
西學(xué)輸入時(shí)期
這一時(shí)期從十四世紀(jì)中葉明王朝建立到二十世紀(jì)清代結(jié)束共500多年。
數(shù)學(xué)除珠算外出現(xiàn)全面衰弱的局面,當(dāng)中涉及到中算的局限、十三世紀(jì)的考試制度中已刪減數(shù)學(xué)內(nèi)容、明代大興八段考試制度等復(fù)雜的問(wèn)題,不少中外數(shù)學(xué)史家仍探討當(dāng)中涉及的原因。
十六世紀(jì)末,西方初等數(shù)學(xué)開(kāi)始傳入中國(guó),使中國(guó)數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)了一個(gè)中西融合貫通的局面。
鴉片戰(zhàn)爭(zhēng)后,近代高等數(shù)學(xué)開(kāi)始傳入中國(guó),中國(guó)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)入一個(gè)以學(xué)習(xí)西方數(shù)學(xué)為主的時(shí)期。
直到十九世紀(jì)末,中國(guó)的近代數(shù)學(xué)研究才真正開(kāi)始。
明代最大的成就是珠算的普及,出現(xiàn)了許多珠算讀本,及至程大位的《直指算法統(tǒng)宗》[1592]問(wèn)世,珠算理論已成系統(tǒng),標(biāo)志著從籌算到珠算轉(zhuǎn)變的完成。
但由於珠算流行,籌算幾乎絕跡,建立在籌算基礎(chǔ)上的古代數(shù)學(xué)也逐漸失傳,數(shù)學(xué)出現(xiàn)長(zhǎng)期停滯。
隋及唐初,印度數(shù)學(xué)和天文學(xué)知識(shí)曾傳入中國(guó),但影響較細(xì)。
到了十六世紀(jì)末,西方傳教士開(kāi)始到中國(guó)活動(dòng),和中國(guó)學(xué)者合譯了許多西方數(shù)學(xué)專(zhuān)著。
其中第一部且有重大影響的是意大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷[1607],其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系和演譯方法深受徐光啟推崇。
徐光啟本人撰寫(xiě)的《測(cè)量異同》和《勾股義》便應(yīng)用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國(guó)的勾股測(cè)望術(shù)。
此外,《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創(chuàng),且沿用至今。
在輸入的西方數(shù)學(xué)中僅次於幾何的是三角學(xué)。
在此之前,三角學(xué)只有零星的知識(shí),而此后獲得迅速發(fā)展。
介紹西方三角學(xué)的著作有鄧玉函編譯的《大測(cè)》[2卷,1631]、《割圓八線(xiàn)表》[6卷]和羅雅谷的《測(cè)量全義》[10卷,1631]。
在徐光啟主持編譯的《崇禎歷書(shū)》[137卷,1629-1633]中,介紹了有關(guān)圓椎曲線(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)。
入清以后,會(huì)通中西數(shù)學(xué)的杰出代表是梅文鼎,他堅(jiān)信中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)「必有精理」,對(duì)古代名著做了深入的研究,同時(shí)又能正確對(duì)待西方數(shù)學(xué),使之在中國(guó)扎根,對(duì)清代中期數(shù)學(xué)研究的 *** 是有積極影響的。
與他同時(shí)代的數(shù)學(xué)家還有王錫闡和年希堯等人。
清康熙帝愛(ài)好科學(xué)研究,他「御定」的《數(shù)理精蘊(yùn)》[53卷,1723],是一部比較全面的初等數(shù)學(xué)書(shū),對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)研究有一定影響。
在研究傳統(tǒng)數(shù)學(xué)時(shí),許多數(shù)學(xué)家還有發(fā)明創(chuàng)造,例如有「談天三友」之稱(chēng)的焦循、汪萊及李銳作出不少重要的工作。
李善蘭在《垛積比類(lèi)》[約1859]中得到三角自乘垛求和公式,現(xiàn)在稱(chēng)之為「李善蘭恒等式」。
這些工作較宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)進(jìn)了一步。
阮元、李銳等人編寫(xiě)了一部天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家傳記《疇人傳》46卷[1795-1810],開(kāi)數(shù)學(xué)史研究之先河。
1840年鴉戰(zhàn)爭(zhēng)后,閉關(guān)鎖國(guó)政策被迫中止。
同文館內(nèi)添設(shè)「算學(xué)」,上海江南制造局內(nèi)添設(shè)翻譯館,由此開(kāi)始第二次翻譯引進(jìn)的 *** 。
主要譯者和著作有:李善蘭與英國(guó)傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》后9卷[1857],使中國(guó)有了完整的《幾何原本》中譯本;《代數(shù)學(xué)》13卷[1859];《代微積拾級(jí)》18卷[1859]。
李善蘭與英國(guó)傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線(xiàn)說(shuō)》3卷,華蘅芳與英國(guó)傳教士傅蘭雅合譯《代數(shù)術(shù)》25卷[1872],《微積溯源》8卷[1874],《決疑數(shù)學(xué)》10卷[1880]等。
在這些譯著中,創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞和術(shù)語(yǔ),至今仍在應(yīng)用。
1898年建立京師大學(xué)堂,同文館并入。
1905年廢除科舉,建立西方式學(xué)校教育,使用的課本也與西方其他各國(guó)相仿。
近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展時(shí)期
這一時(shí)期是從20世紀(jì)初至今的一段時(shí)間,常以1949年新中國(guó)成立為標(biāo)志劃分為兩個(gè)階段。
中國(guó)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)開(kāi)始於清末民初的留學(xué)活動(dòng)。
較早出國(guó)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有1903年留日的馮祖荀,1908年留美的鄭之蕃,1910年留美的胡明復(fù)和趙元任,1911年留美的姜立夫,1912年留法的何魯,1913年留日的陳建功和留比利時(shí)的熊慶來(lái)[1915年轉(zhuǎn)留法],1919年留日的蘇步青等人。
他們中的多數(shù)回國(guó)后成為著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家,為中國(guó)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)。
其中胡明復(fù)1917年取得美國(guó)哈佛大學(xué)博士學(xué)位,成為第一位獲得博士學(xué)位的中國(guó)數(shù)學(xué)家。
1920年姜立夫在天津南開(kāi)大學(xué)創(chuàng)建數(shù)學(xué)系,1921年和1926年熊慶來(lái)分別在東南大學(xué)[今南京大學(xué)]和清華大學(xué)建立數(shù)學(xué)系,不久武漢大學(xué)、齊魯大學(xué)、浙江大學(xué)、中山大學(xué)陸續(xù)設(shè)立了數(shù)學(xué)系,到1932年各地已有32所大學(xué)設(shè)立了數(shù)學(xué)系或數(shù)理系。
1930年熊慶來(lái)在清華大學(xué)首創(chuàng)數(shù)學(xué)研究部,開(kāi)始招收研究生,陳省身、吳大任成為國(guó)內(nèi)最早的數(shù)學(xué)研究生。
三十年代出國(guó)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的還有江澤涵[1927]、陳省身[1934]、華羅庚[1936]、許寶騄[1936]等人,他們都成為中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的骨干力量。
同時(shí)外國(guó)數(shù)學(xué)家也有來(lái)華講學(xué)的,例如英國(guó)的羅素[1920],美國(guó)的伯克霍夫[1934]、奧斯古德[1934]、維納[1935],法國(guó)的阿達(dá)馬[1936]等人。
1935年中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)成立大會(huì)在上海召開(kāi),共有33名代表出席。
但
趙爽是三國(guó)時(shí)期吳人,在中國(guó)歷史上他是最早對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明的數(shù)學(xué)家之一,其學(xué)術(shù)成就體現(xiàn)于對(duì)《周髀算經(jīng)》的闡釋。
在《勾股圓方圖注》中,他還用幾何方法證明了勾股定理,其實(shí)這已經(jīng)體現(xiàn)“割補(bǔ)原理”的方法。
用幾何方法求解二次方程也是趙爽對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的一大貢獻(xiàn)。
三國(guó)時(shí)期魏人劉徽則注釋了《九章算術(shù)》,其著作《九章算術(shù)注》不僅對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo),而且系統(tǒng)地闡述了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理,并且多有創(chuàng)造。
其發(fā)明的“割圓術(shù)”(圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積),為圓周率的計(jì)算奠定了基礎(chǔ),同時(shí)劉徽還算出圓周率的近似值——“3927/1250(3.1416)”。
他設(shè)計(jì)的“牟合方蓋”的幾何模型為后人尋求球體積公式打下重要基礎(chǔ)。
在研究多面體體積過(guò)程中,劉徽運(yùn)用極限方法證明了“陽(yáng)馬術(shù)”。
另外,《海島算經(jīng)》也是劉徽編撰的一部數(shù)學(xué)論著
祖沖之、祖暅父子的工作在這一時(shí)期最具代表性。
他們著重進(jìn)行數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理,在前人劉徽《九章算術(shù)注》的基礎(chǔ)上前進(jìn)了一步。
根據(jù)史料記載,其著作《綴術(shù)》(已失傳)取得如下成就:①圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第六位,得到3.1415926<π<3.1415927,并求得π的約率為22/7,密率為355/113,其中密率是分子分母在1000以?xún)?nèi)的最佳值;歐洲直到16世紀(jì)德國(guó)人鄂圖(Otto)和荷蘭人安托尼茲(Anthonisz)才得出同樣結(jié)果。
②祖暅在劉徽工作的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出球體體積公式,并提出二立體等高處截面積相等則二體體積相等(“冪勢(shì)既同則積不容異”)定理;歐洲17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利(Cavalieri)才提出同一定理……祖氏父子同時(shí)在天文學(xué)上也有一定貢獻(xiàn)。
從公元11世紀(jì)到14世紀(jì)的宋、元時(shí)期,是以籌算為主要內(nèi)容的中國(guó)古代數(shù)學(xué)的鼎盛時(shí)期,其表現(xiàn)是這一時(shí)期涌現(xiàn)許多杰出的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作。
中國(guó)古代數(shù)學(xué)以宋、元數(shù)學(xué)為最高境界。
在世界范圍內(nèi)宋、元數(shù)學(xué)也幾乎是與 *** 數(shù)學(xué)一道居于領(lǐng)先集團(tuán)的。
賈憲在《黃帝九章算法細(xì)草》中提出開(kāi)任意高次冪的“增乘開(kāi)方法”,同樣的方法至1819年才由英國(guó)人霍納發(fā)現(xiàn);賈憲的二項(xiàng)式定理系數(shù)表與17世紀(jì)歐洲出現(xiàn)的“巴斯加三角”是類(lèi)似的。
遺憾的是賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》書(shū)稿已佚。
秦九韶是南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家。
1247年,他在《數(shù)書(shū)九章》中將“增乘開(kāi)方法”加以推廣,論述了高次方程的數(shù)值解法,并且例舉20多個(gè)取材于實(shí)踐的高次方程的解法(最高為十次方程)。
16世紀(jì)意大利人菲爾洛才提出三次方程的解法。
另外,秦九韶還對(duì)一次同余式理論進(jìn)行過(guò)研究。
公元1261年,南宋楊輝(生卒年代不詳)在《詳解九章算法》中用“垛積術(shù)”求出幾類(lèi)高階等差級(jí)數(shù)之和。
公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了“九歸捷法”,介紹了籌算乘除的各種運(yùn)算法。
公元1280年,元代王恂、郭守敬等制訂公元1303年,元代朱世杰(生卒年代不詳)著《四元玉鑒》,他把“天元術(shù)”推廣為“四元術(shù)”(四元高次聯(lián)立方程),并提出消元的解法,歐洲到公元1775年法國(guó)人別朱(Bezout)才提出同樣的解法。
朱世杰還對(duì)各有限項(xiàng)級(jí)數(shù)求和問(wèn)題進(jìn)行了研究,在此基礎(chǔ)上得出了高次差的內(nèi)插公式,歐洲到公元1670年英國(guó)人格里高利(Gregory)和公元1676一1678年間牛頓(Newton)才提出內(nèi)插法的一般公式。
明代珠算開(kāi)始普及于中國(guó)。
1592年程大位編撰的《直指算法統(tǒng)宗》是一部集珠算理論之大成的著作。
但是有人認(rèn)為,珠算的普及是抑制建立在籌算基礎(chǔ)之上的中國(guó)古代數(shù)學(xué)進(jìn)一步發(fā)展的主要原因之一。
搜狐博客 > 小雨兮兮 > 日志 > 數(shù)學(xué)知識(shí) 2007-09-11 | 中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展史概述 標(biāo)簽: 數(shù)學(xué) 公元 九章算術(shù) 勾股定理 籌算
中國(guó)是世界文明古國(guó)之一,地處亞洲東部,瀕太平洋西岸。黃河流域和長(zhǎng)江流域是中華民族文化的搖籃,大約在公元前2000年,在黃河中下游產(chǎn)生了第一個(gè)奴隸制國(guó)家——夏朝(前2033-前1562),共經(jīng)歷十三世、十六王。其后又有奴隸制國(guó)家商(前562年—1066年,共歷十七世三十一王)和西周[前1027年—前771年,共歷約二百五十七年,傳十一世、十二王]。隨后出現(xiàn)了中國(guó)歷史上的第一次全國(guó)性大分裂形成的時(shí)期——春秋(前770年-前476年)戰(zhàn)國(guó)(前403年-前221年),春秋后期,中國(guó)文明進(jìn)入封建時(shí)代,到公元前221年秦王贏政統(tǒng)一全國(guó),出現(xiàn)了中國(guó)歷史上第一個(gè)封建帝制國(guó)家——秦朝(前221年—前206年),在以后的時(shí)間里,中國(guó)封建文明在秦帝國(guó)的封建體制的基礎(chǔ)不斷完善地持續(xù)發(fā)展,經(jīng)歷了統(tǒng)一強(qiáng)盛的西漢(公元前206年—公元8年)帝國(guó)、東漢王朝(公元25年—公元220年)、戰(zhàn)亂頻仍與分裂的三國(guó)時(shí)期(公元208年-公元280年)、西晉(公元265年—公元316年)與東晉王朝(公元317年—公元420年)、漢民族以外的少數(shù)民族統(tǒng)治的南朝(公元420年—公元589年)與北朝(公元386年—公元518年)。到了公元581年,由隋再次統(tǒng)一了全國(guó),建立了大一統(tǒng)的隋朝(公元581—618年),接著經(jīng)歷了強(qiáng)大富庶文化繁榮的大唐王朝(公元618年—907年)、北方少數(shù)民族政權(quán)遼(公元916年-公元1125年)、經(jīng)濟(jì)和文化發(fā)達(dá)的北宋(公元960年~公元1127年)與南宋(公元1127年-公元1279年)、蒙古族建立的控制范圍擴(kuò)張至整個(gè)西亞地區(qū)的疆域最大的元朝(公元1271年-1368年)、元朝滅亡后,漢族人在華夏大地上重新建立起來(lái)的封建王朝——明朝(公元1368年-公元1644年),明王朝于17世紀(jì)中為少數(shù)民族女真族(滿(mǎn)族)建立的清朝(公元1616年-公元1911年)所代替。清朝是中國(guó)最后一個(gè)封建帝制國(guó)家。自此之后,中國(guó)脫離了帝制而轉(zhuǎn)入了現(xiàn)代民主國(guó)家。
中國(guó)文明與古代埃及、美索不達(dá)米亞、印度文明一樣,都是古老的農(nóng)耕文明,但與其他文明截然不同,它其持續(xù)發(fā)展兩千余年之久,在世界文明史上是絕無(wú)僅有的。這種文明十分注重社會(huì)事務(wù)的管理,強(qiáng)調(diào)實(shí)際與經(jīng)驗(yàn),關(guān)心人和自然的和諧與人倫社會(huì)的秩序,儒家思想作為調(diào)解社會(huì)矛盾、維系這一文明持續(xù)發(fā)展的重要思想基礎(chǔ)。
一、中國(guó)數(shù)學(xué)的起源與早期發(fā)展
據(jù)《易·系辭》記載:「上古結(jié)繩而治,后世圣人易之以書(shū)契」。在殷墟出土的甲骨文卜辭中有很多記數(shù)的文字。從一到十,及百、千、萬(wàn)是專(zhuān)用的記數(shù)文字,共有13個(gè)獨(dú)立符號(hào),記數(shù)用合文書(shū)寫(xiě),其中有十進(jìn)制制的記數(shù)法,出現(xiàn)最大的數(shù)字為三萬(wàn)。
算籌是中國(guó)古代的計(jì)算工具,而這種計(jì)算方法稱(chēng)為籌算。算籌的產(chǎn)生年代已不可考,但可以肯定的是籌算在春秋時(shí)代已很普遍。
用算籌記數(shù),有縱、橫兩種方式:
表示一個(gè)多位數(shù)字時(shí),采用十進(jìn)位值制,各位值的數(shù)目從左到右排列,縱橫相間[法則是:一縱十橫,百立千僵,千、十相望,萬(wàn)、百相當(dāng)],并以空位表示零。算籌為加、減、乘、除等運(yùn)算建立起良好的條件。
籌算直到十五世紀(jì)元朝末年才逐漸為珠算所取代,中國(guó)古代數(shù)學(xué)就是在籌算的基礎(chǔ)上取得其輝煌成就的。
在幾何學(xué)方面《史記·夏本記》中說(shuō)夏禹治水時(shí)已使用了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖和測(cè)量工具,并早已發(fā)現(xiàn)「勾三股四弦五」這個(gè)勾股定理[西方稱(chēng)勾股定理]的特例。戰(zhàn)國(guó)時(shí)期,齊國(guó)人著的《考工記》匯總了當(dāng)時(shí)手工業(yè)技術(shù)的規(guī)范,包含了一些測(cè)量的內(nèi)容,并涉及到一些幾何知識(shí),例如角的概念。
戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展,一些學(xué)派還總結(jié)和概括出與數(shù)學(xué)有關(guān)的許多抽象概念。著名的有《墨經(jīng)》中關(guān)于某些幾何名詞的定義和命題,例如:「圓,一中同長(zhǎng)也」、「平,同高也」等等。墨家還給出有窮和無(wú)窮的定義?!肚f子》記載了惠施等人的名家學(xué)說(shuō)和桓團(tuán)、公孫龍等辯者提出的論題,強(qiáng)調(diào)抽象的數(shù)學(xué)思想,例如「至大無(wú)外謂之大一,至小無(wú)內(nèi)謂之小一」、「一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭」等。這些許多幾何概念的定義、極限思想和其它數(shù)學(xué)命題是相當(dāng)可貴的數(shù)學(xué)思想,但這種重視抽象性和邏輯嚴(yán)密性的新思想未能得到很好的繼承和發(fā)展。
此外,講述陰陽(yáng)八卦,預(yù)言吉兇的《易經(jīng)》已有了組合數(shù)學(xué)的萌芽,并反映出二進(jìn)制的思想。
二、中國(guó)數(shù)學(xué)體系的形成與奠基
這一時(shí)期包括從秦漢、魏晉、南北朝,共400年間的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史。秦漢是中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系的形成時(shí)期,為使不斷豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、理論化,數(shù)學(xué)方面的專(zhuān)書(shū)陸續(xù)出現(xiàn)。
現(xiàn)傳中國(guó)歷史最早的數(shù)學(xué)專(zhuān)著是1984年在湖北江陵張家山出土的成書(shū)于西漢初的漢簡(jiǎn)《算數(shù)書(shū)》,與其同時(shí)出土的一本漢簡(jiǎn)歷譜所記乃呂后二年(公元前186年),所以該書(shū)的成書(shū)年代至晚是公元前186年(應(yīng)該在此前)。
西漢末年[公元前一世紀(jì)]編纂的《周髀算經(jīng)》,盡管是談?wù)撋w天說(shuō)宇宙論的天文學(xué)著作,但包含許多數(shù)學(xué)內(nèi)容,在數(shù)學(xué)方面主要有兩項(xiàng)成就:(1)提出勾股定理的特例及普遍形式;(2)測(cè)太陽(yáng)高、遠(yuǎn)的陳子測(cè)日法,為后來(lái)重差術(shù)(勾股測(cè)量法)的先驅(qū)。此外,還有較復(fù)雜的開(kāi)方問(wèn)題和分?jǐn)?shù)運(yùn)算等。
《九章算術(shù)》是一部經(jīng)幾代人整理、刪補(bǔ)和修訂而成的古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作,約成書(shū)于東漢初年[公元前一世紀(jì)]。全書(shū)采用問(wèn)題集的形式編寫(xiě),共收集了246個(gè)問(wèn)題及其解法,分屬于方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章。主要內(nèi)容包括分?jǐn)?shù)四則和比例算法、各種面積和體積的計(jì)算、關(guān)于勾股測(cè)量的計(jì)算等。在代數(shù)方面,《方程》章中所引入的負(fù)數(shù)概念及正負(fù)數(shù)加減法法則,在世界數(shù)學(xué)史上都是最早的記載;書(shū)中關(guān)于線(xiàn)性方程組的解法和現(xiàn)在中學(xué)講授的方法基本相同。就《九章算術(shù)》的特點(diǎn)來(lái)說(shuō),它注重應(yīng)用,注重理論聯(lián)系實(shí)際,形成了以籌算為中心的數(shù)學(xué)體系,對(duì)中國(guó)古算影響深遠(yuǎn)。它的一些成就如十進(jìn)制值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯,并通過(guò)這些國(guó)家傳到歐洲,促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。
魏晉時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)在理論上有了較大的發(fā)展。其中趙爽(生卒年代不詳)和劉徽(生卒年代不詳)的工作被認(rèn)為是中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論體系的開(kāi)端。三國(guó)吳人趙爽是中國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明的最早的數(shù)學(xué)家之一,對(duì)《周髀算經(jīng)》做了詳盡的注釋,在《勾股圓方圖注》中用幾何方法嚴(yán)格證明了勾股定理,他的方法已體現(xiàn)了割補(bǔ)原理的思想。趙爽還提出了用幾何方法求解二次方程的新方法。263年,三國(guó)魏人劉徽注釋《九章算術(shù)》,在《九章算術(shù)注》中不僅對(duì)原書(shū)的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo),系統(tǒng)地闡述了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的理論體系與數(shù)學(xué)原理,而且在其論述中多有創(chuàng)造,在卷1《方田》中創(chuàng)立割圓術(shù)(即用圓內(nèi)接正多邊形面積無(wú)限逼近圓面積的辦法),為圓周率的研究工作奠定理論基礎(chǔ)和提供了科學(xué)的算法,他運(yùn)用“割圓術(shù)”得出圓周率的近似值為3927/1250(即3.1416);在《商功》章中,為解決球體積公式的問(wèn)題而構(gòu)造了“牟合方蓋”的幾何模型,為祖暅獲得正確結(jié)果開(kāi)辟了道路;為建立多面體體積理論,運(yùn)用極限方法成功地證明了陽(yáng)馬術(shù);他還撰著《海島算經(jīng)》,發(fā)揚(yáng)了古代勾股測(cè)量術(shù)----重差術(shù)。
南北朝時(shí)期的社會(huì)長(zhǎng)期處于戰(zhàn)爭(zhēng)和分裂狀態(tài),但數(shù)學(xué)的發(fā)展依然蓬勃。出現(xiàn)了《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》等算學(xué)著作。約于公元四-五世紀(jì)成書(shū)的《孫子算經(jīng)》給出「物不知數(shù)」問(wèn)題并作了解答,導(dǎo)致求解一次同余組問(wèn)題在中國(guó)的濫暢;《張丘建算經(jīng)》的「百雞問(wèn)題」引出三個(gè)未知數(shù)的不定方程組問(wèn)題。
公元五世紀(jì),祖沖之、祖暅父子的工作在這一時(shí)期最具代表性,他們?cè)凇毒耪滤阈g(shù)》劉徽注的基礎(chǔ)上,將傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步,成為重視數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)推理的典范。他們同時(shí)在天文學(xué)上也有突出的貢獻(xiàn)。其著作《綴術(shù)》已失傳,根據(jù)史料記載,他們?cè)跀?shù)學(xué)上主要有三項(xiàng)成就:(1)計(jì)算圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后第六位,得到3.1415926 <π< 3.1415927,并求得π的約率為22/7,密率為355/113,其中密率是分子分母在1000以?xún)?nèi)的最佳值,歐洲直到十六世紀(jì)德國(guó)人鄂圖(valentinus otto)和荷蘭人安托尼茲(a.anthonisz)才得出同樣結(jié)果;(2)祖暅在劉徽工作的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出球體體積的正確公式,并提出"冪勢(shì)既同則積不容異"的體積原理,即二立體等高處截面積均相等則二體體積相等的定理。歐洲十七世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利(bonaventura cavalieri)才提出同一定理;(3)發(fā)展了二次與三次方程的解法。
同時(shí)代的天文歷學(xué)家何承天創(chuàng)調(diào)日法,以有理分?jǐn)?shù)逼近實(shí)數(shù),發(fā)展了古代的不定分析與數(shù)值逼近算法。
三、中國(guó)數(shù)學(xué)教育制度的建立
隋朝大興土木,客觀(guān)上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通撰《緝古算經(jīng)》,主要是通過(guò)土木工程中計(jì)算土方、工程的分工與驗(yàn)收以及倉(cāng)庫(kù)和地窖計(jì)算等實(shí)際問(wèn)題,討論如何以幾何方式建立三次多項(xiàng)式方程,發(fā)展了《九章算術(shù)》中的少?gòu)V、勾股章中開(kāi)方理論。
隋唐時(shí)期是中國(guó)封建官僚制度建立時(shí)期,隨著科舉制度與國(guó)子監(jiān)制度的確立,數(shù)學(xué)教育有了長(zhǎng)足的發(fā)展。656年國(guó)子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館,設(shè)有算學(xué)博士和助教,由太史令李淳風(fēng)等人編纂注釋《算經(jīng)十書(shū)》[包括《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》、《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》和《綴術(shù)》],作為算學(xué)館學(xué)生用的課本。對(duì)保存古代數(shù)學(xué)經(jīng)典起了重要的作用。
由于南北朝時(shí)期的一些重大天文發(fā)現(xiàn)在隋唐之交開(kāi)始落實(shí)到歷法編算中,使唐代歷法中出現(xiàn)一些重要的數(shù)學(xué)成果。公元600年,隋代劉焯在制訂《皇極歷》時(shí),在世界上最早提出了等間距二次內(nèi)插公式,這在數(shù)學(xué)史上是一項(xiàng)杰出的創(chuàng)造,唐代僧一行在其《大衍歷》中將其發(fā)展為不等間距二次內(nèi)插公式。
唐朝后期,計(jì)算技術(shù)有了進(jìn)一步的改進(jìn)和普及,出現(xiàn)很多種實(shí)用算術(shù)書(shū),對(duì)于乘除算法力求簡(jiǎn)捷。
四、中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的高峰
唐朝亡后,五代十國(guó)仍是軍閥混戰(zhàn)的繼續(xù),直到北宋王朝統(tǒng)一了中國(guó),農(nóng)業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)迅速繁榮,科學(xué)技術(shù)突飛猛進(jìn)。從公元十一世紀(jì)到十四世紀(jì)[宋、元兩代],籌算數(shù)學(xué)達(dá)到極盛,是中國(guó)古代數(shù)學(xué)空前繁榮,碩果累累的全盛時(shí)期。這一時(shí)期出現(xiàn)了一批著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)著作,列舉如下:賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》[11世紀(jì)中葉],劉益的《議古根源》[12世紀(jì)中葉],秦九韶的《數(shù)書(shū)九章》[1247],李冶的《測(cè)圓海鏡》[1248]和《益古演段》[1259],楊輝的《詳解九章算法》[1261]、《日用算法》[1262]和《楊輝算法》[1274-1275],朱世杰的《算學(xué)啟蒙》[1299]和《四元玉鑒》[1303]等等。 宋元數(shù)學(xué)在很多領(lǐng)域都達(dá)到了中國(guó)古代數(shù)學(xué),也是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的巔峰。其中主要的工作有:
公元1050年左右,北宋賈憲(生卒年代不詳)在《黃帝九章算法細(xì)草》中創(chuàng)造了開(kāi)任意高次冪的“增乘開(kāi)方法”,公元1819年英國(guó)人霍納(william george horner)才得出同樣的方法。賈憲還列出了二項(xiàng)式定理系數(shù)表,歐洲到十七世紀(jì)才出現(xiàn)類(lèi)似的“巴斯加三角”。(《黃帝九章算法細(xì)草》已佚)
公元1088—1095年間,北宋沈括從“酒家積罌”數(shù)與“層壇”體積等生產(chǎn)實(shí)踐問(wèn)題提出了“隙積術(shù)”,開(kāi)始對(duì)高階等差級(jí)數(shù)的求和進(jìn)行研究,并創(chuàng)立了正確的求和公式。沈括還提出“會(huì)圓術(shù)”,得出了我國(guó)古代數(shù)學(xué)史上第一個(gè)求弧長(zhǎng)的近似公式。他還運(yùn)用運(yùn)籌思想分析和研究了后勤供糧與運(yùn)兵進(jìn)退的關(guān)系等問(wèn)題。
公元1247年,南宋秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中推廣了增乘開(kāi)方法,敘述了高次方程的數(shù)值解法,他列舉了二十多個(gè)來(lái)自實(shí)踐的高次方程的解法,最高為十次方程。歐洲到十六世紀(jì)意大利人菲爾洛(scipio del ferro)才提出三次方程的解法。秦九韶還系統(tǒng)地研究了一次同余式理論。
公元1248年,李冶(李治,公元1192一1279年)著的《測(cè)圓海鏡》是第一部系統(tǒng)論述“天元術(shù)”(一元高次方程)的著作,這在數(shù)學(xué)史上是一項(xiàng)杰出的成果。在《測(cè)圓海鏡?序》中,李冶批判了輕視科學(xué)實(shí)踐,以數(shù)學(xué)為“九九賤技”、“玩物喪志”等謬論。
公元1261年,南宋楊輝(生卒年代不詳)在《詳解九章算法》中用“垛積術(shù)”求出幾類(lèi)高階等差級(jí)數(shù)之和。公元1274年他在《乘除通變本末》中還敘述了“九歸捷法”,介紹了籌算乘除的各種運(yùn)算法。公元1280年,元代王恂、郭守敬等制訂《授時(shí)歷》時(shí),列出了三次差的內(nèi)插公式。郭守敬還運(yùn)用幾何方法求出相當(dāng)于現(xiàn)在球面三角的兩個(gè)公式。
公元1303年,元代朱世杰(生卒年代不詳)著《四元玉鑒》,他把“天元術(shù)”推廣為“四元術(shù)”(四元高次聯(lián)立方程),并提出消元的解法,歐洲到公元1775年法國(guó)人別朱(etienne bezout)才提出同樣的解法。朱世杰還對(duì)各有限項(xiàng)級(jí)數(shù)求和問(wèn)題進(jìn)行了研究,在此基礎(chǔ)上得出了高次差的內(nèi)插公式,歐洲到公元1670年英國(guó)人格里高利(james gregory)和公元1676一1678年間牛頓(issac newton)才提出內(nèi)插法的一般公式。
公元十四世紀(jì)我國(guó)人民已使用珠算盤(pán)。在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)出現(xiàn)之前,珠算盤(pán)是世界上簡(jiǎn)便而有效的計(jì)算工具。
五、中國(guó)數(shù)學(xué)的衰落與日用數(shù)學(xué)的發(fā)展
這一時(shí)期指十四世紀(jì)中葉明王朝建立到明末的1582年。數(shù)學(xué)除珠算外出現(xiàn)全面衰弱的局面,當(dāng)中涉及到中算的局限、十三世紀(jì)的考試制度中已刪減數(shù)學(xué)內(nèi)容、明代大興八段考試制度等復(fù)雜的問(wèn)題,不少中外數(shù)學(xué)史家仍探討當(dāng)中涉及的原因。
明代最大的成就是珠算的普及,出現(xiàn)了許多珠算讀本,及至程大位的《直指算法統(tǒng)宗》[1592]問(wèn)世,珠算理論已成系統(tǒng),標(biāo)志著從籌算到珠算轉(zhuǎn)變的完成。但由于珠算流行,籌算幾乎絕跡,建立在籌算基礎(chǔ)上的古代數(shù)學(xué)也逐漸失傳,數(shù)學(xué)出現(xiàn)長(zhǎng)期停滯。
六、西方初等數(shù)學(xué)的傳入與中西合璧
十六世紀(jì)末開(kāi)始,西方傳教士開(kāi)始到中國(guó)活動(dòng),由于明清王朝制定天文歷法的需要,傳教士開(kāi)始將與天文歷算有關(guān)的西方初等數(shù)學(xué)知識(shí)傳入中國(guó),中國(guó)數(shù)學(xué)家在“西學(xué)中源”思想支配下,數(shù)學(xué)研究出現(xiàn)了一個(gè)中西融合貫通的局面。
十六世紀(jì)末,西方傳教士和中國(guó)學(xué)者合譯了許多西方數(shù)學(xué)專(zhuān)著。其中第一部且有重大影響的是意大利傳教士利馬竇和徐光啟合譯的《幾何原本》前6卷[1607],其嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬻w系和演譯方法深受徐光啟推崇。徐光啟本人撰寫(xiě)的《測(cè)量異同》和《勾股義》便應(yīng)用了《幾何原本》的邏輯推理方法論證中國(guó)的勾股測(cè)望術(shù)。此外,《幾何原本》課本中絕大部份的名詞都是首創(chuàng),且沿用至今。在輸入的西方數(shù)學(xué)中僅次于幾何的是三角學(xué)。在此之前,三角學(xué)只有零星的知識(shí),而此后獲得迅速發(fā)展。介紹西方三角學(xué)的著作有鄧玉函編譯的《大測(cè)》[2卷,1631]、《割圓八線(xiàn)表》[6卷]和羅雅谷的《測(cè)量全義》[10卷,1631]。在徐光啟主持編譯的《崇禎歷書(shū)》[137卷,1629-1633]中,介紹了有關(guān)圓椎曲線(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)。
入清以后,會(huì)通中西數(shù)學(xué)的杰出代表是梅文鼎,他堅(jiān)信中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)「必有精理」,對(duì)古代名著做了深入的研究,同時(shí)又能正確對(duì)待西方數(shù)學(xué),使之在中國(guó)扎根,對(duì)清代中期數(shù)學(xué)研究的高潮是有積極影響的。與他同時(shí)代的數(shù)學(xué)家還有王錫闡和年希堯等人。 清康熙帝愛(ài)好科學(xué)研究,他「御定」的《數(shù)理精蘊(yùn)》[53卷,1723],是一部比較全面的初等數(shù)學(xué)書(shū),對(duì)當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)研究有一定影響。
七、傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的整理與復(fù)興
乾嘉年間形成一個(gè)以考據(jù)學(xué)為主的干嘉學(xué)派,編成《四庫(kù)全書(shū)》,其中數(shù)學(xué)著作有《算經(jīng)十書(shū)》和宋元時(shí)期的著作,為保存瀕于湮沒(méi)的數(shù)學(xué)典籍做出重要貢獻(xiàn)。
在研究傳統(tǒng)數(shù)學(xué)時(shí),許多數(shù)學(xué)家還有發(fā)明創(chuàng)造,例如有「談天三友」之稱(chēng)的焦循、汪萊及李銳作出不少重要的工作。李善蘭在《垛積比類(lèi)》[約1859]中得到三角自乘垛求和公式,現(xiàn)在稱(chēng)之為「李善蘭恒等式」。這些工作較宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)進(jìn)了一步。阮元、李銳等人編寫(xiě)了一部天文學(xué)家和數(shù)學(xué)家傳記《疇人傳》46卷[1795-1810],開(kāi)數(shù)學(xué)史研究之先河。
八、西方數(shù)學(xué)再次東進(jìn)
1840年鴉戰(zhàn)爭(zhēng)后,閉關(guān)鎖國(guó)政策被迫中止。同文館內(nèi)添設(shè)「算學(xué)」,上海江南制造局內(nèi)添設(shè)翻譯館,由此開(kāi)始第二次翻譯引進(jìn)的高潮。主要譯者和著作有:李善蘭與英國(guó)傳教士偉烈亞力合譯的《幾何原本》后9卷[1857],使中國(guó)有了完整的《幾何原本》中譯本;《代數(shù)學(xué)》13卷[1859];《代微積拾級(jí)》18卷[1859]。李善蘭與英國(guó)傳教士艾約瑟合譯《圓錐曲線(xiàn)說(shuō)》3卷,華蘅芳與英國(guó)傳教士傅蘭雅合譯《代數(shù)術(shù)》25卷[1872],《微積溯源》8卷[1874],《決疑數(shù)學(xué)》10卷[1880]等。在這些譯著中,創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞和術(shù)語(yǔ),至今仍在應(yīng)用。 1898年建立京師大學(xué)堂,同文館并入。1905年廢除科舉,建立西方式學(xué)校教育,使用的課本也與西方其它各國(guó)相仿。
九、中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的建立
這一時(shí)期是從20世紀(jì)初至今的一段時(shí)間,常以1949年新中國(guó)成立為標(biāo)志劃分為兩個(gè)階段。
中國(guó)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)開(kāi)始于清末民初的留學(xué)活動(dòng)。較早出國(guó)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的有1903年留日的馮祖荀,1908年留美的鄭之蕃,1910年留美的胡明復(fù)和趙元任,1911年留美的姜立夫,1912年留法的何魯,1913年留日的陳建功和留比利時(shí)的熊慶來(lái)[1915年轉(zhuǎn)留法],1919年留日的蘇步青等人。他們中的多數(shù)回國(guó)后成為著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家,為中國(guó)近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展做出重要貢獻(xiàn)。其中胡明復(fù)1917年取得美國(guó)哈佛大學(xué)博士學(xué)位,成為第一位獲得博士學(xué)位的中國(guó)數(shù)學(xué)家。隨著留學(xué)人員的回國(guó),各地大學(xué)的數(shù)學(xué)教育有了起色。最初只有北京大學(xué)1912年成立時(shí)建立的數(shù)學(xué)系,1920年姜立夫在天津南開(kāi)大學(xué)創(chuàng)建數(shù)學(xué)系,1921年和1926年熊慶來(lái)分別在東南大學(xué)[今南京大學(xué)]和清華大學(xué)建立數(shù)學(xué)系,不久武漢大學(xué)、齊魯大學(xué)、浙江大學(xué)、中山大學(xué)陸續(xù)設(shè)立了數(shù)學(xué)系,到1932年各地已有32所大學(xué)設(shè)立了數(shù)學(xué)系或數(shù)理系。1930年熊慶來(lái)在清華大學(xué)首創(chuàng)數(shù)學(xué)研究部,開(kāi)始招收研究生,陳省身、吳大任成為國(guó)內(nèi)最早的數(shù)學(xué)研究生。三十年代出國(guó)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的還有江澤涵[1927]、陳省身[1934]、華羅庚[1936]、許寶騤[1936]等人,他們都成為中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的骨干力量。同時(shí)外國(guó)數(shù)學(xué)家也有來(lái)華講學(xué)的,例如英國(guó)的羅素[1920],美國(guó)的伯克霍夫[1934]、奧斯古德[1934]、維納[1935],法國(guó)的阿達(dá)馬[1936]等人。1935年中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)成立大會(huì)在上海召開(kāi),共有33名代表出席。1936年〈中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)學(xué)報(bào)〉和《數(shù)學(xué)雜志》相繼問(wèn)世,這些標(biāo)志著中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的進(jìn)一步發(fā)展。 解放以前的數(shù)學(xué)研究集中在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域,在國(guó)內(nèi)外共發(fā)表論著600余種。在分析學(xué)方面,陳建功的三角級(jí)數(shù)論,熊慶來(lái)的亞純函數(shù)與整函數(shù)論研究是代表作,另外還有泛函分析、變分法、微分方程與積分方程的成果;在數(shù)論與代數(shù)方面,華羅庚等人的解析數(shù)論、幾何數(shù)論和代數(shù)數(shù)論以及近世代數(shù)研究取得令世人矚目的成果;在幾何與拓?fù)鋵W(xué)方面,蘇步青的微分幾何學(xué),江澤涵的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué),陳省身的纖維叢理論和示性類(lèi)理論等研究做了開(kāi)創(chuàng)性的工作:在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面,許寶騤在一元和多元分析方面得到許多基本定理及嚴(yán)密證明。此外,李儼和錢(qián)寶琮開(kāi)創(chuàng)了中國(guó)數(shù)學(xué)史的研究,他們?cè)诠潘闶妨系淖⑨屨砗涂甲C分析方面做了許多奠基性的工作,使我國(guó)的民族文化遺產(chǎn)重放光彩。
1949年11月即成立中國(guó)科學(xué)院。1951年3月《中國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》復(fù)刊[1952年改為《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》],1951年10月《中國(guó)數(shù)學(xué)雜志》復(fù)刊[1953年改為《數(shù)學(xué)通報(bào)》]。1951年8月中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)召開(kāi)建國(guó)后第一次國(guó)代表大會(huì),討論了數(shù)學(xué)發(fā)展方向和各類(lèi)學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)改革問(wèn)題。
建國(guó)后的數(shù)學(xué)研究取得長(zhǎng)足進(jìn)步。50年代初期就出版了華羅庚的《堆棧素?cái)?shù)論》[1953]、蘇步青的《射影曲線(xiàn)概論》[1954]、陳建功的《直角函數(shù)級(jí)數(shù)的和》[1954]和李儼的《中算史論叢》5集[1954-1955]等專(zhuān)著,到1966年,共發(fā)表各種數(shù)學(xué)論文約2萬(wàn)余篇。除了在數(shù)論、代數(shù)、幾何、拓?fù)洹⒑瘮?shù)論、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)史等學(xué)科繼續(xù)取得新成果外,還在微分方程、計(jì)算技術(shù)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等分支有所突破,有許多論著達(dá)到世界先進(jìn)水平,同時(shí)培養(yǎng)和成長(zhǎng)起一大批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家。
60年代后期,中國(guó)的數(shù)學(xué)研究基本停止,教育癱瘓、人員喪失、對(duì)外交流中斷,后經(jīng)多方努力狀況略有改變。1970年《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》恢復(fù)出版,并創(chuàng)刊《數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)》。1973年陳景潤(rùn)在《中國(guó)科學(xué)》上發(fā)表《大偶數(shù)表示為一個(gè)素?cái)?shù)及一個(gè)不超過(guò)二個(gè)素?cái)?shù)的乘積之和》的論文,在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中國(guó)數(shù)學(xué)家在函數(shù)論、馬爾可夫過(guò)程、概率應(yīng)用、運(yùn)籌學(xué)、優(yōu)選法等方面也有一定創(chuàng)見(jiàn)。
1978年11月中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)召開(kāi)第三次代表大會(huì),標(biāo)志著中國(guó)數(shù)學(xué)的復(fù)蘇。1978年恢復(fù)全國(guó)數(shù)學(xué)競(jìng)賽,1985年中國(guó)開(kāi)始參加國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽。1981年陳景潤(rùn)等數(shù)學(xué)家獲國(guó)家自然科學(xué)獎(jiǎng)勵(lì)。1983年國(guó)家首批授于18名中青年學(xué)者以博士學(xué)位,其中數(shù)學(xué)工作者占2/3。1986年中國(guó)第一次派代表參加國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì),加入國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)合會(huì),吳文俊應(yīng)邀作了關(guān)于中國(guó)古代數(shù)學(xué)史的45分鐘演講。近十幾年來(lái)數(shù)學(xué)研究碩果累累,發(fā)表論文專(zhuān)著的數(shù)量成倍增長(zhǎng),質(zhì)量不斷上升。1985年慶祝中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)成立50周年年會(huì)上,已確定中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的長(zhǎng)遠(yuǎn)目標(biāo)。代表們立志要不懈地努力,爭(zhēng)取使中國(guó)在世界上早日成為新的數(shù)學(xué)大國(guó)。
十、中國(guó)數(shù)學(xué)的特點(diǎn)
?。?)以算法為中心,屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)。中國(guó)數(shù)學(xué)不脫離社會(huì)生活與生產(chǎn)的實(shí)際,以解決實(shí)際問(wèn)題為目標(biāo),數(shù)學(xué)研究是圍繞建立算法與提高計(jì)算技術(shù)而展開(kāi)的。
?。?)具有較強(qiáng)的社會(huì)性。中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化中,數(shù)學(xué)被儒學(xué)家培養(yǎng)人的道德與技能的基本知識(shí)---六藝(禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù))之一,它的作用在于“通神明、順性命,經(jīng)世務(wù)、類(lèi)萬(wàn)物”,所以中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)總是被打上中國(guó)哲學(xué)與古代學(xué)術(shù)思想的烙印,往往與術(shù)數(shù)交織在一起。同時(shí),數(shù)學(xué)教育與研究往往被封建政府所控制,唐宋時(shí)代的數(shù)學(xué)教育與科舉制度、歷代數(shù)學(xué)家往往是政府的天文官員,這些事例充分反映了這一性質(zhì)。
?。?)寓理于算,理論高度概括。由于中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)注重解決實(shí)際問(wèn)題,而且因中國(guó)人綜合、歸納思維的決定,所以中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)不關(guān)心數(shù)學(xué)理論的形式化,但這并不意味中國(guó)傳統(tǒng)僅停留在經(jīng)驗(yàn)層次而無(wú)理論建樹(shù)。其實(shí)中國(guó)數(shù)學(xué)的算法中蘊(yùn)涵著建立這些算法的理論基礎(chǔ),中國(guó)數(shù)學(xué)家習(xí)慣把數(shù)學(xué)概念與方法建立在少數(shù)幾個(gè)不證自明、形象直觀(guān)的數(shù)學(xué)原理之上,如代數(shù)中的“率”的理論,平面幾何中的“出入相補(bǔ)”原理,立體幾何中的“陽(yáng)馬術(shù)”、曲面體理論中的“截面原理”(或稱(chēng)劉祖原理,即卡瓦列利原理)等等。
十一、中國(guó)數(shù)學(xué)對(duì)世界的影響
數(shù)學(xué)活動(dòng)有兩項(xiàng)基本工作----證明與計(jì)算,前者是由于接受了公理化(演繹化)數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng),后者是由于接受了機(jī)械化(算法化)數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)。在世界數(shù)學(xué)文化傳統(tǒng)中,以歐幾里得《幾何原本》為代表的希臘數(shù)學(xué),無(wú)疑是西方演繹數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的基礎(chǔ),而以《九章算術(shù)》為代表的中國(guó)數(shù)學(xué)無(wú)疑是東方算法化數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的基礎(chǔ),它們東西輝映,共同促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)文化的發(fā)展。
中國(guó)數(shù)學(xué)通過(guò)絲綢之路傳播到印度、阿拉伯地區(qū),后來(lái)經(jīng)阿拉伯人傳入西方。而且在漢字文化圈內(nèi),一直影響著日本、朝鮮半島、越南等亞洲國(guó)家的數(shù)學(xué)發(fā)展
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人類(lèi)是動(dòng)物進(jìn)化的產(chǎn)物,最初也完全沒(méi)有數(shù)量的概念。但人類(lèi)發(fā)達(dá)的大腦對(duì)客觀(guān)世界的認(rèn)識(shí)已經(jīng)達(dá)到更加理性和抽象的地步。這樣,在漫長(zhǎng)的生活實(shí)踐中,由于記事和分配生活用品等方面的需要,才逐漸產(chǎn)生了數(shù)的概念。比如捕獲了一頭野獸,就用1塊石子代表。捕獲了3頭,就放3塊石子。"結(jié)繩記事"也是地球上許多相隔很近的古代人類(lèi)共同做過(guò)的事。我國(guó)古書(shū)《易經(jīng)》中有"結(jié)繩而治"的記載。傳說(shuō)古代波斯王打仗時(shí)也常用繩子打結(jié)來(lái)計(jì)算天數(shù)。用利器在樹(shù)皮上或獸皮上刻痕,或用小棍擺在地上計(jì)數(shù)也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了,就逐漸形成數(shù)的概念和記數(shù)的符號(hào)。
數(shù)的概念最初不論在哪個(gè)地區(qū)都是1、2、3、4……這樣的自然數(shù)開(kāi)始的,但是記數(shù)的符號(hào)卻大小相同。
古羅馬的數(shù)字相當(dāng)進(jìn)步,現(xiàn)在許多老式掛鐘上還常常使用。
實(shí)際上,羅馬數(shù)字的符號(hào)一共只有7個(gè):I(代表1)、V(代表5)、X(代表10)、L(代表50)、C代表100)、D(代表500)、M(代表1,000)。這7個(gè)符號(hào)位置上不論怎樣變化,它所代表的數(shù)字都是不變的。它們按照下列規(guī)律組合起來(lái),就能表示任何數(shù):
1.重復(fù)次數(shù):一個(gè)羅馬數(shù)字符號(hào)重復(fù)幾次,就表示這個(gè)數(shù)的幾倍。如:"III"表示"3";"XXX"表示"30"。
2.右加左減:一個(gè)代表大數(shù)字的符號(hào)右邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號(hào),就表示大數(shù)字加小數(shù)字,如"VI"表示"6","DC"表示"600"。一個(gè)代表大數(shù)字的符號(hào)左邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號(hào),就表示大數(shù)字減去小數(shù)字的數(shù)目,如"IV"表示"4","XL"表示"40","VD"表示"495"。
3.上加橫線(xiàn):在羅馬數(shù)字上加一橫線(xiàn),表示這個(gè)數(shù)字的一千倍。如:""表示 "15,000",""表示"165,000"。
我國(guó)古代也很重視記數(shù)符號(hào),最古老的甲骨文和鐘鼎中都有記數(shù)的符號(hào),不過(guò)難寫(xiě)難認(rèn),后人沒(méi)有沿用。到春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期,生產(chǎn)迅速發(fā)展,適應(yīng)這一需要,我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計(jì)算方法--籌算?;I算用的算籌是竹制的小棍,也有骨制的。按規(guī)定的橫豎長(zhǎng)短順序擺好,就可用來(lái)記數(shù)和進(jìn)行運(yùn)算。隨著籌算的普及,算籌的擺法也就成為記數(shù)的符號(hào)了。算籌擺法有橫縱兩式,都能表示同樣的數(shù)字。
從算籌數(shù)碼中沒(méi)有"10"這個(gè)數(shù)可以清楚地看出,籌算從一開(kāi)始就嚴(yán)格遵循十位進(jìn)制。9位以上的數(shù)就要進(jìn)一位。同一個(gè)數(shù)字放在百位上就是幾百,放在萬(wàn)位上就是幾萬(wàn)。這樣的計(jì)算法在當(dāng)時(shí)是很先進(jìn)的。因?yàn)樵谑澜绲钠渌胤秸嬲褂檬M(jìn)位制時(shí)已到了公元6世紀(jì)末。但籌算數(shù)碼中開(kāi)始沒(méi)有"零",遇到"零"就空位。比如"6708",就可以表示為"┴ ╥ "。數(shù)字中沒(méi)有"零",是很容易發(fā)生錯(cuò)誤的。所以后來(lái)有人把銅錢(qián)擺在空位上,以免弄錯(cuò),這或許與"零"的出現(xiàn)有關(guān)。不過(guò)多數(shù)人認(rèn)為,"0"這一數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)明應(yīng)歸功于公元6世紀(jì)的印度人。他們最早用黑點(diǎn)(·)表示零,后來(lái)逐漸變成了"0"。
說(shuō)起"0"的出現(xiàn),應(yīng)該指出,我國(guó)古代文字中,"零"字出現(xiàn)很早。不過(guò)那時(shí)它不表示"空無(wú)所有",而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零頭"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是:在一百之外,還有一個(gè)零頭五。隨著阿拉數(shù)字的引進(jìn)。"105"恰恰讀作"一百零五","零"字與"0"恰好對(duì)應(yīng),"零"也就具有了"0"的含義。
如果你細(xì)心觀(guān)察的話(huà),會(huì)發(fā)現(xiàn)羅馬數(shù)字中沒(méi)有"0"。其實(shí)在公元5世紀(jì)時(shí),"0"已經(jīng)傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用"0"。有一位羅馬學(xué)者在筆記中記載了關(guān)于使用"0"的一些好處和說(shuō)明,就被教皇召去,施行了拶(zǎn)刑,使他再也不能握筆寫(xiě)字。
但"0"的出現(xiàn),誰(shuí)也阻擋不住。現(xiàn)在,"0"已經(jīng)成為含義最豐富的數(shù)字符號(hào)。"0"可以表示沒(méi)有,也可以表示有。如:氣溫0℃,并不是說(shuō)沒(méi)有氣溫;"0"是正負(fù)數(shù)之間唯一的中性數(shù);任何數(shù)(0除外)的0次冪等于1;0!=1(零的階乘等于1)。
除了十進(jìn)制以外,在數(shù)學(xué)萌芽的早期,還出現(xiàn)過(guò)五進(jìn)制、二進(jìn)制、三進(jìn)制、七進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制、十六進(jìn)制、二十進(jìn)制、六十進(jìn)制等多種數(shù)字進(jìn)制法。在長(zhǎng)期實(shí)際生活的應(yīng)用中,十進(jìn)制最終占了上風(fēng)。
現(xiàn)在世界通用的數(shù)碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,人們稱(chēng)之為阿拉伯?dāng)?shù)字。實(shí)際上它們是古代印度人最早使用的。后來(lái)阿拉伯人把古希臘的數(shù)學(xué)融進(jìn)了自己的數(shù)學(xué)中去,又把這一簡(jiǎn)便易寫(xiě)的十進(jìn)制位值記數(shù)法傳遍了歐洲,逐漸演變成今天的阿拉伯?dāng)?shù)字。
數(shù)的概念、數(shù)碼的寫(xiě)法和十進(jìn)制的形成都是人類(lèi)長(zhǎng)期實(shí)踐活動(dòng)的結(jié)果。
隨著生產(chǎn)、生活的需要,人們發(fā)現(xiàn),僅僅能表示自然數(shù)是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不行的。如果分配獵獲物時(shí),5個(gè)人分4件東西,每個(gè)人人該得多少呢?于是分?jǐn)?shù)就產(chǎn)生了。中國(guó)對(duì)分?jǐn)?shù)的研究比歐洲早1400多年!自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和零,通稱(chēng)為算術(shù)數(shù)。自然數(shù)也稱(chēng)為正整數(shù)。
隨著社會(huì)的發(fā)展,人們又發(fā)現(xiàn)很多數(shù)量具有相反的意義,比如增加和減少、前進(jìn)和后退、上升和下降、向東和向西。為了表示這樣的量,又產(chǎn)生了負(fù)數(shù)。正整數(shù)、負(fù)整數(shù)和零,統(tǒng)稱(chēng)為整數(shù)。如果再加上正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù),就統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。有了這些數(shù)字表示法,人們計(jì)算起來(lái)感到方便多了。
但是,在數(shù)字的發(fā)展過(guò)程中,一件不愉快的事發(fā)生了。讓我們回到大經(jīng)貿(mào)部2500年前的希臘,那里有一個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,是一個(gè)研究數(shù)學(xué)、科學(xué)和哲學(xué)的團(tuán)體。他們認(rèn)為"數(shù)"是萬(wàn)物的本源,支配整個(gè)自然界和人類(lèi)社會(huì)。因此世間一切事物都可歸結(jié)為數(shù)或數(shù)的比例,這是世界所以美好和諧的源泉。他們所說(shuō)的數(shù)是指整數(shù)。分?jǐn)?shù)的出現(xiàn),使"數(shù)"不那樣完整了。但分?jǐn)?shù)都可以寫(xiě)成兩個(gè)整數(shù)之比,所以他們的信仰沒(méi)有動(dòng)搖。但是學(xué)派中一個(gè)叫希帕索斯的學(xué)生在研究1與2的比例中項(xiàng)時(shí),發(fā)現(xiàn)沒(méi)有一個(gè)能用整數(shù)比例寫(xiě)成的數(shù)可以表示它。如果設(shè)這個(gè)數(shù)為X,既然,推導(dǎo)的結(jié)果即x2=2。他畫(huà)了一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形,設(shè)對(duì)角線(xiàn)為x ,根據(jù)勾股定理x2=12+12=2,可見(jiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度即是所要找的那個(gè)數(shù),這個(gè)數(shù)肯定是存在的??伤嵌嗌??又該怎樣表示它呢?希帕索斯等人百思不得其解,最后認(rèn)定這是一個(gè)從未見(jiàn)過(guò)的新數(shù)。這個(gè)新數(shù)的出現(xiàn)使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派感到震驚,動(dòng)搖了他們哲學(xué)思想的核心。為了保持支撐世界的數(shù)學(xué)大廈不要坍塌,他們規(guī)定對(duì)新數(shù)的發(fā)現(xiàn)要嚴(yán)守秘密。而希帕索斯還是忍不住將這個(gè)秘密泄露了出去。據(jù)說(shuō)他后來(lái)被扔進(jìn)大海喂了鯊魚(yú)。然而真理是藏不住的。人們后來(lái)又發(fā)現(xiàn)了很多不能用兩整數(shù)之比寫(xiě)出來(lái)的數(shù),如圓周率 就是最重要的一個(gè)。人們把它們寫(xiě)成 π、等形式,稱(chēng)它們?yōu)闊o(wú)理數(shù)。
有理數(shù)和無(wú)理數(shù)一起統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對(duì)各種數(shù)的研究使數(shù)學(xué)理論達(dá)到了相當(dāng)高深和豐富的程度。這時(shí)人類(lèi)的歷史已進(jìn)入19世紀(jì)。許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)成就已經(jīng)登峰造極,數(shù)字的形式也不會(huì)有什么新的發(fā)現(xiàn)了。但在解方程的時(shí)候常常需要開(kāi)平方如果被開(kāi)方數(shù)負(fù)數(shù),這道題還有解嗎?如果沒(méi)有解,那數(shù)學(xué)運(yùn)算就像走在死胡同中那樣處處碰壁。于是數(shù)學(xué)家們就規(guī)定用符號(hào)"i "表示"-1"的平方根,即i=,虛數(shù)就這樣誕生了。"i "成了虛數(shù)的單位。后人將實(shí)數(shù)和虛數(shù)結(jié)合起來(lái),寫(xiě)成 a+bi的形式(a、b均為實(shí)數(shù)),這就是復(fù)數(shù)。在很長(zhǎng)一段時(shí)間里,人們?cè)趯?shí)際生活中找不到用虛數(shù)和復(fù)數(shù)表示的量,所以虛數(shù)總讓人感到虛無(wú)縹緲。隨著科學(xué)的發(fā)展,虛數(shù)現(xiàn)在在水力學(xué)、地圖學(xué)和航空學(xué)上已經(jīng)有了廣泛的應(yīng)用,在掌握和會(huì)使用虛數(shù)的科學(xué)家眼中,虛數(shù)一點(diǎn)也不"虛"了。
數(shù)的概念發(fā)展到虛和復(fù)數(shù)以后,在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi),連某些數(shù)學(xué)家也認(rèn)為數(shù)的概念已經(jīng)十分完善了,數(shù)學(xué)家族的成員已經(jīng)都到齊了??墒?843年10月16日,英國(guó)數(shù)學(xué)家哈密爾頓又提出了"四元數(shù)"的概念。所謂四元數(shù),就是一種形如的數(shù)。它是由一個(gè)標(biāo)量 (實(shí)數(shù))和一個(gè)向量(其中x 、y 、z 為實(shí)數(shù))組成的。四元數(shù)的數(shù)論、群論、量子理論以及相對(duì)論等方面有廣泛的應(yīng)用。與此同時(shí),人們還開(kāi)展了對(duì)"多元數(shù)"理論的研究。多元數(shù)已超出了復(fù)數(shù)的范疇,人們稱(chēng)其為超復(fù)數(shù)。
由于科學(xué)技術(shù)發(fā)展的需要,向量、張量、矩陣、群、環(huán)、域等概念不斷產(chǎn)生,把數(shù)學(xué)研究推向新的高峰。這些概念也都應(yīng)列入數(shù)字計(jì)算的范疇,但若歸入超復(fù)數(shù)中不太合適,所以,人們將復(fù)數(shù)和超復(fù)數(shù)稱(chēng)為狹義數(shù),把向量、張量、矩阿等概念稱(chēng)為廣義數(shù)。盡管人們對(duì)數(shù)的歸類(lèi)法還有某些分歧,但在承認(rèn)數(shù)的概念還會(huì)不斷發(fā)展這一點(diǎn)上意見(jiàn)是一致的。到目前為止,數(shù)的家庭已發(fā)展得十分龐大。
人類(lèi)是動(dòng)物進(jìn)化的產(chǎn)物,最初也完全沒(méi)有數(shù)量的概念。但人類(lèi)發(fā)達(dá)的大腦對(duì)客觀(guān)世界的認(rèn)識(shí)已經(jīng)達(dá)到更加理性和抽象的地步。這樣,在漫長(zhǎng)的生活實(shí)踐中,由于記事和分配生活用品等方面的需要,才逐漸產(chǎn)生了數(shù)的概念。比如捕獲了一頭野獸,就用1塊石子代表。捕獲了3頭,就放3塊石子。"結(jié)繩記事"也是地球上許多相隔很近的古代人類(lèi)共同做過(guò)的事。我國(guó)古書(shū)《易經(jīng)》中有"結(jié)繩而治"的記載。傳說(shuō)古代波斯王打仗時(shí)也常用繩子打結(jié)來(lái)計(jì)算天數(shù)。用利器在樹(shù)皮上或獸皮上刻痕,或用小棍擺在地上計(jì)數(shù)也都是古人常用的辦法。這些辦法用得多了,就逐漸形成數(shù)的概念和記數(shù)的符號(hào)。 數(shù)的概念最初不論在哪個(gè)地區(qū)都是1、2、3、4……這樣的自然數(shù)開(kāi)始的,但是記數(shù)的符號(hào)卻大小相同。 古羅馬的數(shù)字相當(dāng)進(jìn)步,現(xiàn)在許多老式掛鐘上還常常使用。 實(shí)際上,羅馬數(shù)字的符號(hào)一共只有7個(gè):I(代表1)、V(代表5)、X(代表10)、L(代表50)、C代表100)、D(代表500)、M(代表1,000)。這7個(gè)符號(hào)位置上不論怎樣變化,它所代表的數(shù)字都是不變的。它們按照下列規(guī)律組合起來(lái),就能表示任何數(shù): 1.重復(fù)次數(shù):一個(gè)羅馬數(shù)字符號(hào)重復(fù)幾次,就表示這個(gè)數(shù)的幾倍。如:"III"表示"3";"XXX"表示"30"。 2.右加左減:一個(gè)代表大數(shù)字的符號(hào)右邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號(hào),就表示大數(shù)字加小數(shù)字,如"VI"表示"6","DC"表示"600"。一個(gè)代表大數(shù)字的符號(hào)左邊附一個(gè)代表小數(shù)字的符號(hào),就表示大數(shù)字減去小數(shù)字的數(shù)目,如"IV"表示"4","XL"表示"40","VD"表示"495"。 3.上加橫線(xiàn):在羅馬數(shù)字上加一橫線(xiàn),表示這個(gè)數(shù)字的一千倍。如:""表示 "15,000",""表示"165,000"。 我國(guó)古代也很重視記數(shù)符號(hào),最古老的甲骨文和鐘鼎中都有記數(shù)的符號(hào),不過(guò)難寫(xiě)難認(rèn),后人沒(méi)有沿用。到春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期,生產(chǎn)迅速發(fā)展,適應(yīng)這一需要,我們的祖先創(chuàng)造了一種十分重要的計(jì)算方法--籌算?;I算用的算籌是竹制的小棍,也有骨制的。按規(guī)定的橫豎長(zhǎng)短順序擺好,就可用來(lái)記數(shù)和進(jìn)行運(yùn)算。隨著籌算的普及,算籌的擺法也就成為記數(shù)的符號(hào)了。算籌擺法有橫縱兩式,都能表示同樣的數(shù)字。 從算籌數(shù)碼中沒(méi)有"10"這個(gè)數(shù)可以清楚地看出,籌算從一開(kāi)始就嚴(yán)格遵循十位進(jìn)制。9位以上的數(shù)就要進(jìn)一位。同一個(gè)數(shù)字放在百位上就是幾百,放在萬(wàn)位上就是幾萬(wàn)。這樣的計(jì)算法在當(dāng)時(shí)是很先進(jìn)的。因?yàn)樵谑澜绲钠渌胤秸嬲褂檬M(jìn)位制時(shí)已到了公元6世紀(jì)末。但籌算數(shù)碼中開(kāi)始沒(méi)有"零",遇到"零"就空位。比如"6708",就可以表示為"┴ ╥ "。數(shù)字中沒(méi)有"零",是很容易發(fā)生錯(cuò)誤的。所以后來(lái)有人把銅錢(qián)擺在空位上,以免弄錯(cuò),這或許與"零"的出現(xiàn)有關(guān)。不過(guò)多數(shù)人認(rèn)為,"0"這一數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)明應(yīng)歸功于公元6世紀(jì)的印度人。他們最早用黑點(diǎn)(·)表示零,后來(lái)逐漸變成了"0"。 說(shuō)起"0"的出現(xiàn),應(yīng)該指出,我國(guó)古代文字中,"零"字出現(xiàn)很早。不過(guò)那時(shí)它不表示"空無(wú)所有",而只表示"零碎"、"不多"的意思。如"零頭"、"零星"、"零丁"。"一百零五"的意思是:在一百之外,還有一個(gè)零頭五。隨著阿拉數(shù)字的引進(jìn)。"105"恰恰讀作"一百零五","零"字與"0"恰好對(duì)應(yīng),"零"也就具有了"0"的含義。 如果你細(xì)心觀(guān)察的話(huà),會(huì)發(fā)現(xiàn)羅馬數(shù)字中沒(méi)有"0"。其實(shí)在公元5世紀(jì)時(shí),"0"已經(jīng)傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用"0"。有一位羅馬學(xué)者在筆記中記載了關(guān)于使用"0"的一些好處和說(shuō)明,就被教皇召去,施行了拶(zǎn)刑,使他再也不能握筆寫(xiě)字。 但"0"的出現(xiàn),誰(shuí)也阻擋不住?,F(xiàn)在,"0"已經(jīng)成為含義最豐富的數(shù)字符號(hào)。"0"可以表示沒(méi)有,也可以表示有。如:氣溫0℃,并不是說(shuō)沒(méi)有氣溫;"0"是正負(fù)數(shù)之間唯一的中性數(shù);任何數(shù)(0除外)的0次冪等于1;0!=1(零的階乘等于1)。 除了十進(jìn)制以外,在數(shù)學(xué)萌芽的早期,還出現(xiàn)過(guò)五進(jìn)制、二進(jìn)制、三進(jìn)制、七進(jìn)制、八進(jìn)制、十進(jìn)制、十六進(jìn)制、二十進(jìn)制、六十進(jìn)制等多種數(shù)字進(jìn)制法。在長(zhǎng)期實(shí)際生活的應(yīng)用中,十進(jìn)制最終占了上風(fēng)。 現(xiàn)在世界通用的數(shù)碼1、2、3、4、5、6、7、8、9、0,人們稱(chēng)之為阿拉伯?dāng)?shù)字。實(shí)際上它們是古代印度人最早使用的。后來(lái)阿拉伯人把古希臘的數(shù)學(xué)融進(jìn)了自己的數(shù)學(xué)中去,又把這一簡(jiǎn)便易寫(xiě)的十進(jìn)制位值記數(shù)法傳遍了歐洲,逐漸演變成今天的阿拉伯?dāng)?shù)字。 數(shù)的概念、數(shù)
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